El Ansatz de Bethe aplicado al modelo de Heisenbergn con cadenas de espín 1/2 y sus transiciones de fase.

Abstract

Los sistemas físicos que se trabajaron fueron cadenas unidimensionales con N partículas con espín 1/2, en un retículo cristalino con condiciones periódicas en la frontera, el cual retiene cada una de estas partículas en una posición fi ja. El sistema se encuentra en el cero absoluto. Al inicio del trabajo On the Theory of Metals Bethe (2011), menciona que Werner Heisenberg definió dentro de su Modelo las cadenas de espines modelándolas matemáticamente por medio de matrices de Pauli. Como se verá más adelante, el hamiltoniano, correspondiente a las variantes de este Modelo es, en su forma matricial de tamaño 2N x 2N y le corresponde un espacio de Fock. Para describir el espectro de energía del hamiltoniano de una cadena de espines de Heisenberg XXX, Bethe desarrolló una técnica, ahora llamada Ansatz de Bethe en su honor. Esta técnica permite resolver sectores del hamiltoniano y hallar sus eigenfunciones y eigenvalores sin necesidad de diagonalizarlo, sino solucionando un conjunto de ecuaciones algebraicas propias para cada sector; la solución de estas ecuaciones no es trivial. Como expone Baxter (1982), el Modelo reticular de una cadena de espines de Heisenberg es simplificado, sin embargo ha servido como base para explicar propiedades magnéticas en cristales. Marder (2011) nos relata que dentro de dichos cristales existen magnetos de dimensión restringida que interactúan con otros magnetos de la misma clase dentro del cristal lo que deriva en un acoplamiento magnético mucho más fuerte en una dimensión que en las restantes dos dimensiones. La superconductividad, según Sachdev (2011), se comprobó que está íntimamente relacionada con las fluctuaciones magnéticas posibles únicamente en Modelos unidimensionales y que, a pesar de que se estudian estos Modelos en cero absoluto, sucede que en ocasiones existen transiciones de fase a temperaturas finitas. El Ansatz de Bethe consiste en aproximar la solución del hamiltoniano correspondiente al Modelo de Heisenberg por medio de una superposición de ondas planas. Franchini (2016) explica que Bethe encontró que se favorecía la existencia de pares de espines con la misma orientación uno a la par del otro, opuesto a tener pares de espines antiparalelos. Estos pares de espines de igual dirección tendrían la misma energía, sin importar su orientación, algo que también deja claro Feynman (1982). El objetivo general del trabajo es describir el espectro de energía de la cadena cuántica de N elementos de espín 1/2 que se encuentra descrita por el Modelo de Heisenberg en su variante XXZ utilizando el método analítico del Ansatz de Bethe. Utilizando dicho método, encontramos que una cadena de espines de Heisenberg XXZ presenta un espectro de baja energía que exhibe degeneración y cuya magnitud depende de la longitud de la cadena. Esto implica que el Modelo presenta magnetización incluso a temperatura cero absoluto y además exhibe transiciones de fase al variar el valor de la anisotropía. Como objetivos específicos de este trabajo, se describe el Modelo de Heisenberg y algunas de sus variantes; se describen las propiedades y la naturaleza de las interacciones entre partículas de espín 1/2 y cómo influyen estas en la dinámica de una cadena de espines; se analizó paso a paso el método de Ansatz de Bethe utilizando el Modelo de Heisenberg en su variante XXX hasta el sector correspondiente al tercer estado excitado; se aplicó el método de Ansatz de Bethe al Modelo de Heisenberg en su variante XXZ hasta generalizarlo para cualquier sector del hamiltoniano. Se introdujeron algunas de las aplicaciones de Modelo de Heisenberg que actualmente se están estudiando e implementando en desarrollo de nuevas tecnologías; analizamos las transiciones de fase cuánticas que suceden en una cadena cuántica de espín 1=2 descrita por el Modelo de Heisenberg XXZ por medio del desarrollo de un programa en entorno Python que simula el comportamiento de una cadena cuántica de espín 1/2 descrita por el Modelo de Heisenberg XXZ de 8 partículas y que grafica los diagramas de fase para poder analizar las transiciones de fase cuánticas de la cadena.