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Una aplicación de la recursión transfinita: el problema de la construcción de los números cardinales inaccesibles.

Resumen

INTRODUCCIÓN. A. Introducción Histórica. En 1885 y 1897 Georg Cantor (1845-1918) publicó su trabajo sobre números ordinales y cardinales¹. La teoría de Cantor de los números ordinales y cardinales fue la culminación de tres décadas de descubrimiento sobre números "agregados". Empezando con su trabajo sobre la enumeración de conjuntos infinitos², publicado en 1874, Cantor construyó una nueva teoría del infinito. En esta teoría una colección de objetos, también una colección infinita, es concebida como una entidad singular, es decir, como un solo objeto independiente de los objetos que lo forman. La noción de un conjunto infinito como una entidad completa no fue universalmente aceptada. Críticos argumentaron que la lógica es una extrapolación de experiencias que son necesariamente finitistas. Extender la lógica de lo finito a lo infinito, ocasionó riesgos muy graves para apoyar la teoría de Cantor. Esta predicción de desastres lógicos, pareció vindicada con el regreso del siglo de las paradojas que fueron descubiertas en los fundamentos de la nueva disciplina. Dedekind detuvo la publicación de su Was sind und was sollen die Zahien?³ Frege concedió que el fundamento de su Grundgesetze der Arithmetik(4) fue destruido. No obstante, la teoría de conjuntos ganó suficiente soporte para sobrevivir la crisis de las paradojas. En 1908, hablando en el congreso Internacional de Roma, Henri Poicaré (1854-1912) propuso un remedio para ser probados. Como recompensa él prometió "el trabajo del físico llamado a tratar un bello caso patológico". Pero al mismo tiempo Zermelo y Russell fueron ya de antemano buscando los principios fundamentales sobre los cuales una teoría consistente pudiera ser construida. De esto, uno puede suponer que el único propósito de axiomatizar es evitar las paradojas. Hay sin embargo, razones para creer que la axiomática de la teoría de conjuntos, habría evolucionado siempre en la ausencia de paradojas. Ciertamente el trabajo de Dedekind y de Frege en la fundamentación de la aritmética, no fue motivado por temor a las paradojas. Fue más bien un deseo de ver qué principios fundamentales fueron requeridos. En su Begriffsschrift Frege señala: "... dividamos todas las verdades que requieren justificación en dos tipos, esas para las cuales la prueba puede ser llevada a cabo puramente por medio de la lógica y esas para las cuales deben ser apoyadas en hechos de la experiencia... Ahora, cuando considero la pregunta a cuál de estos dos tipos pertenece el juicio aritmético, primero he considerado cuán lejos uno puede proceder en Aritmética únicamente por medio de inferencias..."(6) Muy temprano en la historia de la teoría de conjuntos, se descubrió que el axioma de elección, la hipótesis del continuo, y la hipótesis del continuo generalizada, son principios de especial interés e importancia. La hipótesis del continuo, es la solución conjeturada por Cantor sobre la cuestión de cuántos puntos hay en una línea en un espacio Euclideano(7). Un enunciado formal de la hipótesis del Continuo y su generalización, fue dada posteriormente. El axioma de elección, en una formulación, asevera que dada cualquier colección de conjuntos disjuntos por pares, no vacíos, existe un conjunto que tiene exactamente un elemento en común con cada conjunto de la colección dada. El descubrimiento del axioma de elección, tiene importantes aplicaciones para la mayoría de las áreas de la matemática, y esto forzó a proveer razones para su aceptación. Su estatus como axioma, así como la hipótesis del continuo generalizada, no fue clarificada hasta que Kurt Gödel, en 1938, los probó ser consistentes con los axiomas de la teoría de conjuntos y Paul Cohen, en 1963, probó que son cada uno independientes de los axiomas de la teoría general de conjuntos(8). En orden, al hacer esto, debemos desarrollar una teoría de conjuntos satisfactoria. Para Cantor un conjunto fue "cualquier colección entre un todo, M, de objeto definidos y separados, m, de nuestro pensamiento"(9) . Esta aceptación intuitiva de cualquier colección como un conjunto, conduce a las paradojas clásicas, como por ejemplo, la paradoja de Russell sobre colecciones: si la colección de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos es un conjunto, entonces este conjunto tiene la propiedad de que es un elemento de sí mismo si y sólo si no es elemento de sí mismo. Al desarrollar una teoría de conjuntos tenemos dos opciones, o debemos abandonar la idea de que nuestra teoría abarca colecciones arbitrarias en el sentido de Cantor, o debemos distinguir al menos dos tipos de colecciones: colecciones arbitrarias, que llamaremos clases, y ciertas colecciones especiales que llamaremos conjuntos. Las clases o colecciones arbitrarias, son no obstante tan útiles y nuestros sentimientos intuitivos acerca de clases son tan fuertes que no nos atrevemos a abandonarlas. Una teoría satisfactoria de conjuntos, debe proveer un medio de hablar sin peligro acerca de clases. Hay muchas maneras de desarrollar tal teoría. Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947) en su Principia Mathematica (1910) resolvieron las dificultades con una teoría de tipos. Ellos establecieron una jerarquía de tipos de colecciones. Una colección x puede ser un miembro de una colección y si y sólo si y está un nivel superior en la jerarquía y desde aquí, hay infinitas nociones primitivas (universos del discurso). Entre otros sistemas, se encuentran la teoría de conjuntos de Gödel-Bernay (GB) y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), desarrolladas del trabajo de Bernays (1937-1954), Fraenkel (1922) y Zermelo (1908). Nuestra lista es alfabética. No intentaremos identificar la contribución específica de cada uno. Siguiendo cada nombre, hemos indicado el año o período de años de mayor contribución. En la teoría de conjuntos de Gödel-Bernays, las paradojas clásicas son evitadas por el reconocimiento de dos tipos de clases, conjuntos y clases propias. Los conjuntos son clases que se permite que sean miembros de otras clases. Las clases propias tienen conjuntos como elementos pero no se les permite a ellas mismas ser elementos de otras clases. En la teoría de Zermelo-Fraenkel, tenemos únicamente dos nociones primitivas: conjunto y membresía. La clase es introducida como un término definido. En el lenguaje formal tenemos únicamente un conjunto de variables y un predicado binario con el símbolo "ϵ". Así, en la teoría de Zermelo-Fraenkel la cuantificación se permite únicamente sobre el dominio de variables. Como resultado, hay teoremas en la teoría de Gödel-Bernays que no son teoremas en la teoría de Zermelo-Fraenkel. Podemos, sin embargo, probar que GB es una extensión conservadora de ZF en el sentido de que toda fórmula bien formada de ZF es demostrable en ZF si y sólo si es demostrable en GB. El trabajo de Göder(10) fue terminado en lo que posteriormente se conoció como teoría de conjuntos de Gödel-Bernays. Sin embargo, en el presente trabajo, se prefiere la teoría de Zermelo-Fraenkel en la cual Cohen¹¹ trabajó. NOTA. ¹ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehere. (Erster artikel). Math. Ann. Vol. 46. 1985. p.481-512 (Zweiter Artikel) Math. Ann. Vol. 49, 1987, p.207-246. Para una traducción al inglés ver Cantor Georg, Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover Publications, Inc. ² Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen.J. Reine Angew. Math. Vo1.77,1874,p.258-262. En este tratado Cantor prueba que el conjunto de todos los números es enumerable y que el conjunto de todos los números reales no lo es. ³ El título de esta obra es posible traducirla como: ¿Qué son y qué significan los números? (4) El título de esta obra es posible traducirla como: Las leyes fundamentales de la Aritmética. (5) Alti del IV Congreso intemazionale dei Matematici Roma 1909, Vol. 1, p.182. (6) Van Heigenoort, Jean. From Frege to Gödel. Cambridge:Harvard University Press, 1967.p.5. (7) Ver What is Cantor's Continuum Problem? por Kurt Gödel in the Amer. Math. Montly. Vo1.54 (1947), p.515-525. Una versión revisada y extendida de este tratado es también fundada en Benacerraf, Paul and Putman, Hilary, Philosophy of Mathemathics Selected Readings, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, Inc. 1964. (8) Cohen también probó que la negación de la Hipótesis del Continuo también es consistente con la axiomática de ZF, y su aceptación conduce a la dependencia del axioma de elección. (9) Cantor Georg. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover Publications, Inc. (10) Gödel, Kurt: The Consistente of the Continuum Hypotesis. Princeton: Princeton University Press, 1940. ¹¹ Cohen, Paul J.: The Independence of the Continuum Hypotliesis. Procedings of the National Academy of Science of the United States of America. Vol. 50, 1963, pp. 1143-1148.