Abstract:
INTRODUCCIÓN. La geofísica moderna envuelve el estudio de deformaciones de una
gran variedad de materiales. La corteza, el océano, etc. Algunos estudios
geológicos necesitan dinámica de fluidos. La sismología¹ necesita la teoría
matemática de la elasticidad.
Para analizar el comportamiento de las ondas sísmicas en el interior
de la tierra, debemos comenzar con una descripción de la Mecánica del
Continuo aplicada a la Sismología. En parte porque será útil para el mejor
entendimiento de los capítulos subsiguientes y, en parte porque esto se
encuentra rara vez en libros de sismología.
El medio por el cual viajan las ondas sísmicas, el interior de la
tierra, será tratado como un medio continuo, es decir su estructura
molecular no tiene consecuencias y hablaremos de un elemento de material
que es infinitamente pequeño. La hipótesis del continuo nos permite
expresar leyes físicas que están formuladas en términos de cuerpos de
tamaño finito, como ecuaciones diferenciales que se aplican a un elemento
del continuo.
El movimiento y la deformación de un medio continuo, pueden
describirse matemáticamente de dos formas: el enfoque de Lagrange y el
enfoque de Euler. En el enfoque de Lagrange se describe el
comportamiento de un elemento de material que está especificado por su
posición original en algún tiempo de referencia. En el enfoque de Euler se
describe el comportamiento de una localización espacial particular sin importar qué elemento de material ocupe este espacio. En general el
formalismo de Lagrange es más útil en la teoría matemática de la
elasticidad y el formalismo de Euler es comúnmente usado en la dinámica
de fluidos. Para deformaciones pequeñas las dos descripciones son
indistintas en muchos aspectos.
El desplazamiento de un material no es tan importante como la
deformación. Esta última, en un medio de tres dimensiones, consta de
nueve componentes que corresponden a las tres direcciones de movimiento
por cada una de las tres dimensiones de longitud unitaria. La deformación
será representada utilizando un tensor, pero sólo seis componentes
independientes del tensor simétrico de deformación son necesarias para la
teoría de la elasticidad.
Las fuerzas que actúan en el medio son de dos tipos: Fuerzas de
Cuerpo y Tracciones. La fuerza de gravedad es un ejemplo de una fuerza
de cuerpo, sin embargo podemos despreciar su efecto en las ondas sísmicas
de período corto, que son las ondas que se estudiarán en el presente
desarrollo.
Las fuerzas de tracción serán representadas por medio del tensor de
esfuerzos. Este aparecerá de forma natural cuando hagamos una
descripción matemática de la deformación de cierto elemento de espacio
(región del espacio). Para hacerlo, tomemos una partícula que se encuentra
inicialmente en la posición x (i.e. x(t0) = x) y una partícula que se
encuentre inicialmente en la vecindad de radio Ɛ, con Ɛ > O arbitrariamente
pequeño. La segunda partícula se encuentra en la posición x + ơx.
De esta forma, La ley de conservación de momentum angular
desembocará en una ecuación de movimiento especializada para sólidos
elásticos que más tarde será transformada en una ecuación de onda. De esta
última se desprende el operador de onda sísmica, que será factorizado para
facilitar el análisis de los datos sismológicos y el estudio de la propagación
de la onda sísmica a través del interior de la tierra. Por esto es importante
definir los conceptos fundamentales preliminares para luego atacar el
problema de la factorización del operador de onda sísmica, partiendo de la
utilización del teorema de reciprocidad (éste y otros teoremas
fundamentales que se refieren a la solución de la ecuación de movimiento² serán presentados en el capítulo II). En este capítulo se presentan algunos
conceptos básicos y teoremas fundamentales.
A. La descripción de la deformación en medios continuos.
1. Desplazamiento
El desplazamiento es una función del tiempo y del
espacio, u = u(x,t) , que representa el vector distancia de la posición
de una partícula a un tiempo t, desde la posición x que ocupaba en cierto
tiempo t0.
Pero nuestro interés está centrado en las deformaciones de los
elementos de materia y no en el desplazamiento en sí. Por tanto
enfoquemos ahora nuestra atención al elemento de línea que las une y
expresemos matemáticamente la deformación que sufre este elemento de
línea cuando la partícula en x se mueve hacia la nueva posición x + u(x,t)
en un tiempo t. En el instante t, la otra partícula se encontrará en la
posición x + ơx + u(x + ơx ,t) . La figura 1 muestra la situación. (ver en archivo PDF).
De la figura 1, se extrae la siguiente información:
ơx + ơu = x + ơx + u(x + ơx,t) - x - u(x,t)
El tercer término de la derecha puede ser aproximado por medio de
una expansión de Taylor alrededor del punto x. Dado -que Ɛ es
arbitrariamente pequeño, se tiene que │ơx│« 1. De esta forma se tiene:
u(x+ơx,t)=u(x,t)+(ơx●▼)u+o(ơx²)
Al introducir la ecuación (3) en la ecuación (7) se obtiene:
ơu=(ơx●▼)u+o(●▼x²)
Para expresar la ecuación (3) en una forma en que podamos
interpretarla físicamente, haremos uso de la función Delta de Dirac, ơ, del
tensor alternante, Ɛiik, y sus propiedades. También usaremos
constantemente la notación de Einstein en la que, índices repetidos
significan sumatorias y comas significan derivaciones espaciales.
Teorema 1:
ƐijkƐjlmᵘm,1ơxk= ui,jơxj - uj, iơxj
Demostración:
Ɛijk = Ɛijk
→
ƐijkƐjlmᵘm,lơxk = ƐijkƐjlmᵘm,1ơxk
=-(ơilơkm - ơimơkl)ᵘm,lơxk
=ơimơklᵘm,lơxk - ơilᵘkmᵘm,lơxk
= ui,kơxk - uk,iơxk
= ui,jơxj - uj,ơxj
ƐijkƐjlmᵘm,lơxk = uj,ơxj - uj,ơxj
Teorema 2:
ᵘuᵢ=1/2(uᵢj+u jᵢ) ơxj + 1/2[(▼xu)xơx]ᵢ
Ơu = (ơx●▼)u
ơuᵢ = uᵢ,j ơxj = uᵢ,j ơxj + (uᵢ,j ơxj – uj,ᵢ ơxj)
= 1/2(uᵢ,j - ujᵢ) Ơxj + 1/2(uᵢ,j - ujᵢ) Ơxj
=1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 Ɛijk Ɛjmlᵘml Ơxk
=1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 Ɛijk(▼x u)j Ơxk
=1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 [(▼x u) x Ơx]ᵢ
→
Ơᵘᵢ=1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 [(▼x u) x Ơx]ᵢ
2. El Tensor de Deformación.
El tensor de deformación, eij , es el
término de deformación pura de Ơu y se define matemáticamente por
la relación siguiente:
eᵢj = 1/2 (uᵢj + ujᵢ)
B. La Ecuación de Movimiento en Medios Continuos
(i). Tracción
La tracción, T, o fuerza de tracción, es un vector que
representa la fuerza por unidad de área que actúa a través de la
superficie interna dentro de un medio continuo. Esta cuantifica la fuerza
por unidad de área que una partícula que se encuentra de un lado de la
superficie ejerce sobre otra que se encuentra del otro lado.
Matemáticamente se define como:
T=lim ƠF/( ƠS→ƠS)
(ii). Fuerzas de Cuerpo
Las fuerzas de cuerpo son todas aquellas fuerzas
que actúan sobre las partículas de un medio sólido o líquido y, que
resultan de la interacción con partículas no adyacentes o, que se deben a la
aplicación de procesos físicos externos al medio.
Denotaremos las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen por f.
Propiedad:
Si asumimos el formalismo de Lagrange, entonces
a) u=Əu/Ət, b) ü= Əu/Ət²
Demostración:
u = u (x,t) → u = du/dt = Əu/Əx Əx/Ət + Əu/Ət = Əu/Ət
b) ü = d²u/dt² = d(Əu/Ət) Ə(Əu/Ət) dx + Ə (Əu/Ət) = Ə²u /dt Əx Ət Ət Ət²
Teorema 3:
La segunda ley de Newton, aplicada al volumen V, de un
medio continuo, delimitado por la superficie 8V, puede ser escrita, en
términos de las tracciones y de las fuerzas de cuerpo como:
∭v p Ə²u dv = ∭ fdV + T(n) dS/ Ət² v Ơv
Demostración:
Si P es la cantidad de movimiento lineal y, F, la fuerza
externa total que actúa sobre el volumen V, la cual se puede separar en las
fuerzas que actúan sobre la superficie que delimita a V y las fuerzas que
actúan sobre las partículas del interior de V. Esto es, las fuerzas de tracción
y las fuerzas de cuerpo que actúan sobre el volumen V; entonces tenemos,
para el Volumen V:
dm= pdV/ → dP=vdm=pvdV /→ P=∭ pvdV
La segunda ley de Newton es:
dP /dt= F
Por lo que
d/dt [∭v pvdV] = ∭vfdV + ∬v T(n) dS
Sin embargo, el volumen V no cambia con el tiempo (de acuerdo con
el formalismo lagrangíano), así como la ley de conservación de la masa es
aplicable (pdV = dm, permanece constante), por lo tanto
d/dt [∭vfdV ] = ∭v d/dt [pvdV]
=∭v p dv/ dt dV
=∭v p (Əv/ Ət + Əv/Əxᵢ Əxᵢ/Ət) dV
=∭v p (Əv/ Ət + vᵢ Əv/Əxᵢ) dV
=∭v p (Əv/ Ət + (v ●▼)v)dV
Como el segundo término es cuadrático en v, al tomar
desplazamientos y velocidades pequeños(4) podemos despreciarlo, para así
obtener:
dP/dt = d/dt [∭v pvdV] = =∭v p (Əv/ Ət + dV = =∭vfdV + ∬ƠV T (n)dS
Teorema 4:
La tracción, T(n), puede ser expresada en términos de
componentes en los ejes principales de un sistema coordenado, i.e.
T(n) = T(xᵢ)nᵢ
Demostración:
Sabemos que
n= (n(1)n(2)n(3) = (OBC/ABC OBC/ABC OBC/ABC)
Donde ABC representa el área del plano delimitado por las rectas que
unen los puntos A, B, C. Similarmente, OBC, OAC, OAB representan el
área delimitada por los planos delimitados por las rectas que unen los
puntos O,B,C ; O,A,C; O,A,B; respectivamente (Ver la figura 2).
Tenemos que cuando ƠV tiende a cero, <T> = 0 5.
Tomemos ahora el volumen mostrado en la Figura 2, entonces
<T> = T(n) ABC + T(-xᵢ)OBC + T (-x(2)) OAC + T (-x(3)) OAB = 0 / ABC + OBC + OAC + OAB
→ T(n) ABC =-T (-xᵢ) OBC - T(-x(2) OAC - T(-x(3) OAB
→ T (n) ABC = T (xᵢ) OBC + T(x(2)) OAC + T (x(3)) OAB
→ T(n)=T(xᵢ) OBC/ABC + T(x(2)) OAC/ABC + T(x(3))OAB/ABC
→ T(n) = T(xᵢ)nᵢ + T(x(2))n(2) + T(x(3))n(3)
→ T(n) = T(xᵢ)nᵢ
NOTA. fig 2. ver en archivo PDF.
(iii). El Tensor de Esfuerzos
La componente Ԏkl del tensor de esfuerzos
se define como la l-ésima componente de la tracción que actúa sobre
el plano normal al k-ésimo eje (xk). i.e
Ԏkl = Tl(xk) ó = Tᵢ =Ԏjinj
(iv). La Ecuación de movimiento
Las ondas sísmicas viajan en el
interior de la tierra, la cual es tratada aquí como un medio continuo.
Para ser estrictos debemos tener presente que en el tiempo t, la partícula en
estudio ya no está en la posición x sino que se ha movido a la nueva
posición x = x + u. Por lo tanto, las derivadas espaciales deben tomarse
con respecto de x , de lo contrario estaríamos asumiendo el formalismo de
Euler. Sin embargo,. para deformaciones pequeñas, el formalismo de
Lagrange conduce a los mismos resultados que el formalismo de Euler.
Por lo tanto, siempre que las deformaciones son pequeñas el resultado será
válido para aplicaciones basadas en el formalismo Lagrangiano.
En la ecuación de movimiento se presenta una relación entre la
aceleración de un elemento de volumen del medio continuo y las fuerzas
que actúan sobre él. Las fuerzas de cuerpo se representan como fuerzas por
unidad de volumen, mientras que para representar a las tracciones (fuerzas
superficiales) empleamos el tensor de esfuerzos. Esto para especificar no
sólo la fuerza por unidad de área, sino también la orientación de las
superficies sobre las cuales actúan.
Dentro del volumen, las fuerzas intermoleculares se cancelan
(siguiendo la tercera ley de Newton), por lo que la totalidad de las fuerzas
que actúan sobre el volumen V ya han sido especificadas.
El siguiente teorema es la ecuación de movimiento.
Teorema 5:
püᵢ = fᵢ + Ԏjᵢ,j
Donde uᵢ es la i-ésima componente del desplazamiento, fᵢ es la
i-ésima componente de las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen y, Ԏji
es una componente del tensor de esfuerzos.
Demostración:
Partimos de la segunda ley de Newton ( Teorema 3)
expresada en la i-ésima componente.
ʃʃʃvpüᵢ dV= ʃʃʃvfᵢdV +ʃʃʃơv Tᵢ(n)dS
→
ʃʃʃvpüᵢdV=ʃʃʃvfᵢdV +ʃʃʃv Ԏjᵢ njdS
= ʃʃʃvfᵢdV + ʃʃʃv ƏԎ jᵢ /Əxj dS
= ʃʃʃvfᵢdV + ʃʃʃvԎ jᵢ,ᵢdS
→ ʃʃʃv (püᵢ - fᵢ - Ԏjᵢ,ᵢ) dV=0
Como el volumen escogido es arbitrario, el integrando debe ser cero para
que la ecuación se satisfaga, entonces
püᵢ = fᵢ + Ԏjᵢ,ᵢ
C. La Simetría del Tensor de Esfuerzos
Teorema 6:
El tensor de esfuerzos es simétrico.Ԏᵢj= Ԏjᵢ
Demostración:
Probaremos esto utilizando la ley de la conservación del
momentum angular:
dL = x x dP = T (ext).
Donde L es la cantidad de movimiento angular, P es la cantidad de
movimiento lineal, Text. es el torque externo neto que actúa sobre el
volumen V.
dL = x x P = x x (pvdV) = p (x x v) dV
→ dL/dt = d/dt [ʃʃʃv p(x x v)dV]
→ d/dt [ʃʃʃv p (x x v) dV = ʃʃʃv (x x f) dV + ʃʃơV (x x T) dS
El término del lado izquierdo de la ecuación (5) puede ser escrito de
una forma diferente al escribirse por componentes y utilizando la derivada
de Stokes(6) para introducir la derivación en la integral.
→ d/dt[ʃʃʃv p (x x v)ᵢ dV] = ʃʃʃv p D/Dt (x x v)ᵢ dV
= ʃʃʃv p D/Dt [Ɛᵢjk x j v k] dV
= ʃʃʃv pƐᵢjk [Dxj/Dt v ᵏ + Dvᵏ xj] dV
= ʃʃʃv pƐᵢjk [ᵛjᵛk + Dv ᵏ /Dt xj] dV
= ʃʃʃv pƐᵢjᵏ ᵛjᵛk dV + ʃʃʃv pƐᵢjk Dv ᵏ xjdV
= ʃʃʃv pƐᵢjᵏ (v x v)dV += ʃʃʃv pƐᵢjk Dv ᵏ/ Dt xj dV
= ʃʃʃv pƐᵢjk dV ᵏ/Dt xj dV
→ d/dt [ʃʃʃv p(x x v)ᵢdV] = ʃʃʃv pƐᵢjk Dv ᵏ/ Dt xj dV
Tomando este último resultado, regresamos a la ecuación (5) y usando la definición del tensor de esfuerzos:
ʃʃʃv pƐᵢjk Dvᵏ/ Dt xj dV = ʃʃʃv pƐᵢjᵏ x j f ᵏ dV + ʃʃ ơV Ɛᵢjᵏ x j Ԏᵏ nᵢdS
= ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV + Ɛᵢjk ʃʃʃv Ə/Əxᵢ[x j Ԏ ıᵏ]dV
= ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV + ʃʃʃv Ɛᵢjk [Ơ ᵢ j Ԏᵏ + x j ƏԎ ıᵏ/ƏX ı]dV
= ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV + ʃʃʃv Ɛᵢjk Ԏjᵏ dV + ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xj ƏԎjᵏ/ Əx j dV
→ ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ (P Dvᵏ/Dt x j) dV - ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV - ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xj ƏԎjᵏ/ Əx j dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV
→ ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ (P Dvᵏ/Dt x j - xjfᵏ- x j ƏԎjᵏ/ Əx j) dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV
ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ x j (P Dvᵏ/Dt - fᵏ - ƏԎjᵏ/ Əx j) dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV
De nuevo reducimos la derivada material a la derivada temporal
parcial con lo que el paréntesis del término del lado izquierdo de la
ecuación es igual que cero (la ecuación de movimiento). Así, obtenemos:
0= ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV
Y como el volumen V es arbitrario, la ecuación anterior implica:
Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ = 0
→ Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ + Ɛᵢᵏj Ԏᵏj = 0
→ Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ = Ɛᵢjᵏ Ԏᵏj
→ Ԏjᵏ = Ԏᵏj
D. La Ley Generalizada de Hooke
1. Medio Elástico
Un medio se llama elástico si su energía de
deformación depende sólo del estado actual de la deformación y no
de la historia de la deformación. Es decir que posee un estado natural (de
esfuerzos y deformaciones) al cual el sistema regresa al remover las
fuerzas que se le aplican.
2. Ley generalizada de Hooke
Cuando un medio es elástico, las
deformaciones que sufre y los esfuerzos a los que está sometido son
proporcionales(7). En otras palabras, cada componente del tensor de
esfuerzos es una combinación lineal de todas las componentes del tensor de
deformación(8).
i.e.
Cᵢjpq ϶ Ԏij = Cijpqᵉpq
El tensor cijpq es llamado el tensor de elasticidad. Debido a la
simetría que posee el tensor de esfuerzos, el número de componentes
independientes del tensor de elasticidad se reduce de 81 a 21.
La tierra es un medio anísotrópico (sus propiedades cambian cuando
se cambia de orientación), pero puede ser considerado, cuando no se
estudian propiedades locales de la corteza, como isotrópico (sus
propiedades en cualquier posición son independientes de la orientación). En
el caso de los medios isotrópicos, ha sido demostrado (Jeffreys & Jeffreys,
1972) que el tensor de cuarto orden más general que tiene las simetrías
exigidas por la isotropía (invariante bajo rotaciones) tiene la forma:
Cijkl = λỢijỢkl + ʋ(ỢikỢjl + ỢilỢjk)
λ y ʋ son conocidas como los parámetros de Lamé. Estos parámetros
se relacionan de forma directa con los módulos de compresibilidad
volumétrica y rigidez transversal.
Así, sustituyendo en la ecuación (7), tenemos que para un medio
isotrópico la ley de Hooke se reduce a:
Ԏij = λᵉkkỢij + 2ʋeij
NOTA.
¹ El estudio de las ondas sísmicas (también conocidas como ondas elásticas) tanto en su generación como
en su transmisión en el interior de la tierra y su recopilación en registros en la superficie de la tierra Es bajo
el alcance de esta ciencia, una ciencia físico-matemática aplicada, que se encuentra el estudio del operador de
reflexión de la onda sísmica.
² La ecuación de movimiento es una ecuación diferencial de segundo grado en el desplazamiento sometida
a condiciones de frontera, por tanto debemos justificar la unicidad de la solución para el desplazamiento.
Además, como es usual, serán necesarios para el desarrollo matemático posterior, teoremas de representación
y reciprocidad.
³ Al introducir la derivada temporal dentro del signo de la integral, obtuvimos la llamada Derivada de
Stokes (también llamada por algunos autores Derivada Material):
D/Dt = Ə/Ət + v ●▼
Físicamente, esta derivada representa la razón de cambio de una variable medida por un observador que se
mueve con el volumen V.
(4) En Sismología esto se justifica ya que tanto los desplazamientos como las velocidades son despreciables
comparadas con la longitud dela onda sísmica.
(5) El promedio de las fuerzas de tracción en el área es cero debido a la continuidad de las fuerzas de Tracción.
(6) Recordemos que la derivarla de Stokes es D/Dt = Ə/Ət + v ●▼
(7) Para un resorte, Hooke presentó la ley F = -kx; Para una cuerda la deformación y los esfuerzos están relacionados por medio del módulo de Young, pero en nuestro medio tri-dimensional necesitamos un tensor de cuarto orden para esta relación.
(8) Se tiene una ecuación tensorial. El tensor de esfuerzos es un tensor de segundo rango. Así que el lado derecho de la ecuación debe ser una reducción de orden del tensor Cijpq. Esto indica que el tensor de deformación debería ser un tensor contravariante. Sin embargo lo escribimos como covariante pues tanto éste como los dos restantes son tensores cartesianos.