Demostración del teorema de Riesz-Fischer.

Abstract

INTRODUCCIÓN. El presente ensayo es una exposición de la demostración del teorema de Riesz-Fischer. Para este ensayo se ha asumido un conocimiento básico de la teoría de la medida y de topologia de espacios métricos. En teoría de la medida se asumen conocimientos sobre la misma y sus propiedades fundamentales, así como un dominio elemental sobre la integral de Lebesgue en espacios de medida finita. Una excelente referencia para los requisitos anteriores es el libro de Royden. Para efectos del presente ensayo, algunos lemas y teoremas fundamentales en la teoría de la integración han sido demostrados. Algunos ejemplos son: teorema de Fatou, teorema de convergencia dominada de Lebesgue, desigualdad de Hölder. 1.1 Importancia histórica del teorema de Riesz-Fischer El desarrollo de la noción moderna de integral está estrechamente relacionado con la evolución de la idea de función y con el estudio profundo de las funciones numéricas de variables reales. A principios del Siglo XIX se tenía una idea intuitiva de la noción de función, pero no se admitía que tales funciones pudieran ser expresadas analíticamente. Posteriormente, Fourier encontró que las funciones discontinuas podían ser expresadas como la suma de series trigonométricas. Este concepto habría de tener marcada influencia sobre las siguientes generaciones. Durante años no hubo avance alguno en esta área ya que el trabajo con funciones como las definidas por Fourier no despertaba interés. El primer avance significativo fue dado por Riemann. La idea de Riemann fue la de partir del procedimiento de aproximación de la integral, cuya importancia fue señalada por Cauchy, y determinar cuándo la suma de Riemann de una función f en un intervalo [a,b] tiende hacia un límite. Esta demostración no resulta complicada y, además, generaliza no sólo para funciones monótonas y seccionalmente continuas sino también para funciones discontinuas en un subconjunto denso. La integral de Riemann surgió en un momento que era propicio para ese tipo de investigaciones y ocupó su lugar en el estudio a fondo del <continuo> y de las funciones de variables reales, situación que culmina con Cantor y el surgimiento de la teoría de conjuntos. La forma dada por Riemann a la condición de integralidad sugería la idea de la medida del conjunto de puntos de discontinuidad de una función en un intervalo. Transcurrieron 30 años antes de que se diera una definición de esta noción. Es a Borel a quien corresponde el mérito. Borel propuso tomar como medida de UCR, U abierto a la suma de las longitudes de sus intervalos abiertos componentes. Luego describió la clase de conjuntos (borelianos) que se pueden obtener a partir de los conjuntos abiertos efectuando indefinidamente las operaciones de unión numerable y de diferencias. Indicó que para estos conjuntos se puede definir una medida que posee las propiedades fundamentales de la aditividad contable. O sea, si una sucesión (An) está formada por conjuntos borelianos disjuntos dos a dos, la medida de su unión es igual a la suma de sus medidas. Esta definición constituye el comienzo de uncí nueva era en el Análisis ya que sienta las bases para la extensión de la noción de integral que lleva a cabo Lebesgue en los primeros años del Siglo XX. En su tesis, Lebesgue define la medida exterior de un conjunto acotado ACR como el ínfimo de las medidas de los conjuntos abiertos que contiene A. Luego, si I es un intervalo acotado Que contiene a A, la medida interior de A es la diferencia entre las medidas exteriores de I y de I - A. De esta forma se obtiene una noción de conjuntos medibles que difiere de la noción dada por Borel únicamente en que Lebesgue considera un conjunto de medida nula. Esta definición se extiende inmediatamente a R(n) y la antigua concepción de la integral definida ∫(a)ʄ(b)(t) dt para f acotada y f ≥ O, como área definida por la curva f(x) y las rectas x = a, x = b, y = O; proporciona una extensión inmediata de la integral de Riemann a todas las funciones que están definidas en un conjunto medible según Lebesgue. Ahora bien, la importancia de la noción de medida de Lebesgue no es tanto la extensión anterior sino su descubrimiento del teorema del paso al límite bajo el signo integral. Son innumerables los progresos que se obtienen de los resultados de Lebesgue aplicados a problemas de cálculo infinitesimal. Entre ellos podernos mencionar sus aplicaciones a las series trigonométricas, longitud y área a conjuntos más generales que curvas y superficies comunes, y a los nuevos horizontes de la teoría cuya exploración no ha terminado. Por último, y fundamentalmente, la definición de los espacios L(p) y el teorema de Riesz-Fischer que ponían en evidencia el papel que podía tener en el análisis funcional la nueva noción de integral, papel que no baria otra cosa más que crecer con las generaciones posteriores.