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La factorización del operador de reflexión de la onda sísmica.

Resumen

INTRODUCCIÓN. La geofísica moderna envuelve el estudio de deformaciones de una gran variedad de materiales. La corteza, el océano, etc. Algunos estudios geológicos necesitan dinámica de fluidos. La sismología¹ necesita la teoría matemática de la elasticidad. Para analizar el comportamiento de las ondas sísmicas en el interior de la tierra, debemos comenzar con una descripción de la Mecánica del Continuo aplicada a la Sismología. En parte porque será útil para el mejor entendimiento de los capítulos subsiguientes y, en parte porque esto se encuentra rara vez en libros de sismología. El medio por el cual viajan las ondas sísmicas, el interior de la tierra, será tratado como un medio continuo, es decir su estructura molecular no tiene consecuencias y hablaremos de un elemento de material que es infinitamente pequeño. La hipótesis del continuo nos permite expresar leyes físicas que están formuladas en términos de cuerpos de tamaño finito, como ecuaciones diferenciales que se aplican a un elemento del continuo. El movimiento y la deformación de un medio continuo, pueden describirse matemáticamente de dos formas: el enfoque de Lagrange y el enfoque de Euler. En el enfoque de Lagrange se describe el comportamiento de un elemento de material que está especificado por su posición original en algún tiempo de referencia. En el enfoque de Euler se describe el comportamiento de una localización espacial particular sin importar qué elemento de material ocupe este espacio. En general el formalismo de Lagrange es más útil en la teoría matemática de la elasticidad y el formalismo de Euler es comúnmente usado en la dinámica de fluidos. Para deformaciones pequeñas las dos descripciones son indistintas en muchos aspectos. El desplazamiento de un material no es tan importante como la deformación. Esta última, en un medio de tres dimensiones, consta de nueve componentes que corresponden a las tres direcciones de movimiento por cada una de las tres dimensiones de longitud unitaria. La deformación será representada utilizando un tensor, pero sólo seis componentes independientes del tensor simétrico de deformación son necesarias para la teoría de la elasticidad. Las fuerzas que actúan en el medio son de dos tipos: Fuerzas de Cuerpo y Tracciones. La fuerza de gravedad es un ejemplo de una fuerza de cuerpo, sin embargo podemos despreciar su efecto en las ondas sísmicas de período corto, que son las ondas que se estudiarán en el presente desarrollo. Las fuerzas de tracción serán representadas por medio del tensor de esfuerzos. Este aparecerá de forma natural cuando hagamos una descripción matemática de la deformación de cierto elemento de espacio (región del espacio). Para hacerlo, tomemos una partícula que se encuentra inicialmente en la posición x (i.e. x(t0) = x) y una partícula que se encuentre inicialmente en la vecindad de radio Ɛ, con Ɛ > O arbitrariamente pequeño. La segunda partícula se encuentra en la posición x + ơx. De esta forma, La ley de conservación de momentum angular desembocará en una ecuación de movimiento especializada para sólidos elásticos que más tarde será transformada en una ecuación de onda. De esta última se desprende el operador de onda sísmica, que será factorizado para facilitar el análisis de los datos sismológicos y el estudio de la propagación de la onda sísmica a través del interior de la tierra. Por esto es importante definir los conceptos fundamentales preliminares para luego atacar el problema de la factorización del operador de onda sísmica, partiendo de la utilización del teorema de reciprocidad (éste y otros teoremas fundamentales que se refieren a la solución de la ecuación de movimiento² serán presentados en el capítulo II). En este capítulo se presentan algunos conceptos básicos y teoremas fundamentales. A. La descripción de la deformación en medios continuos. 1. Desplazamiento El desplazamiento es una función del tiempo y del espacio, u = u(x,t) , que representa el vector distancia de la posición de una partícula a un tiempo t, desde la posición x que ocupaba en cierto tiempo t0. Pero nuestro interés está centrado en las deformaciones de los elementos de materia y no en el desplazamiento en sí. Por tanto enfoquemos ahora nuestra atención al elemento de línea que las une y expresemos matemáticamente la deformación que sufre este elemento de línea cuando la partícula en x se mueve hacia la nueva posición x + u(x,t) en un tiempo t. En el instante t, la otra partícula se encontrará en la posición x + ơx + u(x + ơx ,t) . La figura 1 muestra la situación. (ver en archivo PDF). De la figura 1, se extrae la siguiente información: ơx + ơu = x + ơx + u(x + ơx,t) - x - u(x,t) El tercer término de la derecha puede ser aproximado por medio de una expansión de Taylor alrededor del punto x. Dado -que Ɛ es arbitrariamente pequeño, se tiene que │ơx│« 1. De esta forma se tiene: u(x+ơx,t)=u(x,t)+(ơx●▼)u+o(ơx²) Al introducir la ecuación (3) en la ecuación (7) se obtiene: ơu=(ơx●▼)u+o(●▼x²) Para expresar la ecuación (3) en una forma en que podamos interpretarla físicamente, haremos uso de la función Delta de Dirac, ơ, del tensor alternante, Ɛiik, y sus propiedades. También usaremos constantemente la notación de Einstein en la que, índices repetidos significan sumatorias y comas significan derivaciones espaciales. Teorema 1: ƐijkƐjlmᵘm,1ơxk= ui,jơxj - uj, iơxj Demostración: Ɛijk = Ɛijk → ƐijkƐjlmᵘm,lơxk = ƐijkƐjlmᵘm,1ơxk =-(ơilơkm - ơimơkl)ᵘm,lơxk =ơimơklᵘm,lơxk - ơilᵘkmᵘm,lơxk = ui,kơxk - uk,iơxk = ui,jơxj - uj,ơxj ƐijkƐjlmᵘm,lơxk = uj,ơxj - uj,ơxj Teorema 2: ᵘuᵢ=1/2(uᵢj+u jᵢ) ơxj + 1/2[(▼xu)xơx]ᵢ Ơu = (ơx●▼)u ơuᵢ = uᵢ,j ơxj = uᵢ,j ơxj + (uᵢ,j ơxj – uj,ᵢ ơxj) = 1/2(uᵢ,j - ujᵢ) Ơxj + 1/2(uᵢ,j - ujᵢ) Ơxj =1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 Ɛijk Ɛjmlᵘml Ơxk =1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 Ɛijk(▼x u)j Ơxk =1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 [(▼x u) x Ơx]ᵢ → Ơᵘᵢ=1/2(uᵢ,j + ujᵢ) Ơxj + 1/2 [(▼x u) x Ơx]ᵢ 2. El Tensor de Deformación. El tensor de deformación, eij , es el término de deformación pura de Ơu y se define matemáticamente por la relación siguiente: eᵢj = 1/2 (uᵢj + ujᵢ) B. La Ecuación de Movimiento en Medios Continuos (i). Tracción La tracción, T, o fuerza de tracción, es un vector que representa la fuerza por unidad de área que actúa a través de la superficie interna dentro de un medio continuo. Esta cuantifica la fuerza por unidad de área que una partícula que se encuentra de un lado de la superficie ejerce sobre otra que se encuentra del otro lado. Matemáticamente se define como: T=lim⁡ ƠF/( ƠS→ƠS) (ii). Fuerzas de Cuerpo Las fuerzas de cuerpo son todas aquellas fuerzas que actúan sobre las partículas de un medio sólido o líquido y, que resultan de la interacción con partículas no adyacentes o, que se deben a la aplicación de procesos físicos externos al medio. Denotaremos las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen por f. Propiedad: Si asumimos el formalismo de Lagrange, entonces a) u=Əu/Ət, b) ü= Əu/Ət² Demostración: u = u (x,t) → u = du/dt = Əu/Əx Əx/Ət + Əu/Ət = Əu/Ət b) ü = d²u/dt² = d(Əu/Ət) Ə(Əu/Ət) dx + Ə (Əu/Ət) = Ə²u /dt Əx Ət Ət Ət² Teorema 3: La segunda ley de Newton, aplicada al volumen V, de un medio continuo, delimitado por la superficie 8V, puede ser escrita, en términos de las tracciones y de las fuerzas de cuerpo como: ∭v p Ə²u dv = ∭ fdV + T(n) dS/ Ət² v Ơv Demostración: Si P es la cantidad de movimiento lineal y, F, la fuerza externa total que actúa sobre el volumen V, la cual se puede separar en las fuerzas que actúan sobre la superficie que delimita a V y las fuerzas que actúan sobre las partículas del interior de V. Esto es, las fuerzas de tracción y las fuerzas de cuerpo que actúan sobre el volumen V; entonces tenemos, para el Volumen V: dm= pdV/ → dP=vdm=pvdV /→ P=∭ pvdV La segunda ley de Newton es: dP /dt= F Por lo que d/dt [∭v pvdV] = ∭vfdV + ∬v T(n) dS Sin embargo, el volumen V no cambia con el tiempo (de acuerdo con el formalismo lagrangíano), así como la ley de conservación de la masa es aplicable (pdV = dm, permanece constante), por lo tanto d/dt [∭vfdV ] = ∭v d/dt [pvdV] =∭v p dv/ dt dV =∭v p (Əv/ Ət + Əv/Əxᵢ Əxᵢ/Ət) dV =∭v p (Əv/ Ət + vᵢ Əv/Əxᵢ) dV =∭v p (Əv/ Ət + (v ●▼)v)dV Como el segundo término es cuadrático en v, al tomar desplazamientos y velocidades pequeños(4) podemos despreciarlo, para así obtener: dP/dt = d/dt [∭v pvdV] = =∭v p (Əv/ Ət + dV = =∭vfdV + ∬ƠV T (n)dS Teorema 4: La tracción, T(n), puede ser expresada en términos de componentes en los ejes principales de un sistema coordenado, i.e. T(n) = T(xᵢ)nᵢ Demostración: Sabemos que n= (n(1)n(2)n(3) = (OBC/ABC OBC/ABC OBC/ABC) Donde ABC representa el área del plano delimitado por las rectas que unen los puntos A, B, C. Similarmente, OBC, OAC, OAB representan el área delimitada por los planos delimitados por las rectas que unen los puntos O,B,C ; O,A,C; O,A,B; respectivamente (Ver la figura 2). Tenemos que cuando ƠV tiende a cero, <T> = 0 5. Tomemos ahora el volumen mostrado en la Figura 2, entonces <T> = T(n) ABC + T(-xᵢ)OBC + T (-x(2)) OAC + T (-x(3)) OAB = 0 / ABC + OBC + OAC + OAB → T(n) ABC =-T (-xᵢ) OBC - T(-x(2) OAC - T(-x(3) OAB → T (n) ABC = T (xᵢ) OBC + T(x(2)) OAC + T (x(3)) OAB → T(n)=T(xᵢ) OBC/ABC + T(x(2)) OAC/ABC + T(x(3))OAB/ABC → T(n) = T(xᵢ)nᵢ + T(x(2))n(2) + T(x(3))n(3) → T(n) = T(xᵢ)nᵢ NOTA. fig 2. ver en archivo PDF. (iii). El Tensor de Esfuerzos La componente Ԏkl del tensor de esfuerzos se define como la l-ésima componente de la tracción que actúa sobre el plano normal al k-ésimo eje (xk). i.e Ԏkl = Tl(xk) ó = Tᵢ =Ԏjinj (iv). La Ecuación de movimiento Las ondas sísmicas viajan en el interior de la tierra, la cual es tratada aquí como un medio continuo. Para ser estrictos debemos tener presente que en el tiempo t, la partícula en estudio ya no está en la posición x sino que se ha movido a la nueva posición x = x + u. Por lo tanto, las derivadas espaciales deben tomarse con respecto de x , de lo contrario estaríamos asumiendo el formalismo de Euler. Sin embargo,. para deformaciones pequeñas, el formalismo de Lagrange conduce a los mismos resultados que el formalismo de Euler. Por lo tanto, siempre que las deformaciones son pequeñas el resultado será válido para aplicaciones basadas en el formalismo Lagrangiano. En la ecuación de movimiento se presenta una relación entre la aceleración de un elemento de volumen del medio continuo y las fuerzas que actúan sobre él. Las fuerzas de cuerpo se representan como fuerzas por unidad de volumen, mientras que para representar a las tracciones (fuerzas superficiales) empleamos el tensor de esfuerzos. Esto para especificar no sólo la fuerza por unidad de área, sino también la orientación de las superficies sobre las cuales actúan. Dentro del volumen, las fuerzas intermoleculares se cancelan (siguiendo la tercera ley de Newton), por lo que la totalidad de las fuerzas que actúan sobre el volumen V ya han sido especificadas. El siguiente teorema es la ecuación de movimiento. Teorema 5: püᵢ = fᵢ + Ԏjᵢ,j Donde uᵢ es la i-ésima componente del desplazamiento, fᵢ es la i-ésima componente de las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen y, Ԏji es una componente del tensor de esfuerzos. Demostración: Partimos de la segunda ley de Newton ( Teorema 3) expresada en la i-ésima componente. ʃʃʃvpüᵢ dV= ʃʃʃvfᵢdV +ʃʃʃơv Tᵢ(n)dS → ʃʃʃvpüᵢdV=ʃʃʃvfᵢdV +ʃʃʃv Ԏjᵢ njdS = ʃʃʃvfᵢdV + ʃʃʃv ƏԎ jᵢ /Əxj dS = ʃʃʃvfᵢdV + ʃʃʃvԎ jᵢ,ᵢdS → ʃʃʃv (püᵢ - fᵢ - Ԏjᵢ,ᵢ) dV=0 Como el volumen escogido es arbitrario, el integrando debe ser cero para que la ecuación se satisfaga, entonces püᵢ = fᵢ + Ԏjᵢ,ᵢ C. La Simetría del Tensor de Esfuerzos Teorema 6: El tensor de esfuerzos es simétrico.Ԏᵢj= Ԏjᵢ Demostración: Probaremos esto utilizando la ley de la conservación del momentum angular: dL = x x dP = T (ext). Donde L es la cantidad de movimiento angular, P es la cantidad de movimiento lineal, Text. es el torque externo neto que actúa sobre el volumen V. dL = x x P = x x (pvdV) = p (x x v) dV → dL/dt = d/dt [ʃʃʃv p(x x v)dV] → d/dt [ʃʃʃv p (x x v) dV = ʃʃʃv (x x f) dV + ʃʃơV (x x T) dS El término del lado izquierdo de la ecuación (5) puede ser escrito de una forma diferente al escribirse por componentes y utilizando la derivada de Stokes(6) para introducir la derivación en la integral. → d/dt[ʃʃʃv p (x x v)ᵢ dV] = ʃʃʃv p D/Dt (x x v)ᵢ dV = ʃʃʃv p D/Dt [Ɛᵢjk x j v k] dV = ʃʃʃv pƐᵢjk [Dxj/Dt v ᵏ + Dvᵏ xj] dV = ʃʃʃv pƐᵢjk [ᵛjᵛk + Dv ᵏ /Dt xj] dV = ʃʃʃv pƐᵢjᵏ ᵛjᵛk dV + ʃʃʃv pƐᵢjk Dv ᵏ xjdV = ʃʃʃv pƐᵢjᵏ (v x v)dV += ʃʃʃv pƐᵢjk Dv ᵏ/ Dt xj dV = ʃʃʃv pƐᵢjk dV ᵏ/Dt xj dV → d/dt [ʃʃʃv p(x x v)ᵢdV] = ʃʃʃv pƐᵢjk Dv ᵏ/ Dt xj dV Tomando este último resultado, regresamos a la ecuación (5) y usando la definición del tensor de esfuerzos: ʃʃʃv pƐᵢjk Dvᵏ/ Dt xj dV = ʃʃʃv pƐᵢjᵏ x j f ᵏ dV + ʃʃ ơV Ɛᵢjᵏ x j Ԏᵏ nᵢdS = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV + Ɛᵢjk ʃʃʃv Ə/Əxᵢ[x j Ԏ ıᵏ]dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV + ʃʃʃv Ɛᵢjk [Ơ ᵢ j Ԏᵏ + x j ƏԎ ıᵏ/ƏX ı]dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV + ʃʃʃv Ɛᵢjk Ԏjᵏ dV + ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xj ƏԎjᵏ/ Əx j dV → ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ (P Dvᵏ/Dt x j) dV - ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xjfᵏdV - ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ xj ƏԎjᵏ/ Əx j dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV → ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ (P Dvᵏ/Dt x j - xjfᵏ- x j ƏԎjᵏ/ Əx j) dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ x j (P Dvᵏ/Dt - fᵏ - ƏԎjᵏ/ Əx j) dV = ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV De nuevo reducimos la derivada material a la derivada temporal parcial con lo que el paréntesis del término del lado izquierdo de la ecuación es igual que cero (la ecuación de movimiento). Así, obtenemos: 0= ʃʃʃv Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ dV Y como el volumen V es arbitrario, la ecuación anterior implica: Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ = 0 → Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ + Ɛᵢᵏj Ԏᵏj = 0 → Ɛᵢjᵏ Ԏjᵏ = Ɛᵢjᵏ Ԏᵏj → Ԏjᵏ = Ԏᵏj D. La Ley Generalizada de Hooke 1. Medio Elástico Un medio se llama elástico si su energía de deformación depende sólo del estado actual de la deformación y no de la historia de la deformación. Es decir que posee un estado natural (de esfuerzos y deformaciones) al cual el sistema regresa al remover las fuerzas que se le aplican. 2. Ley generalizada de Hooke Cuando un medio es elástico, las deformaciones que sufre y los esfuerzos a los que está sometido son proporcionales(7). En otras palabras, cada componente del tensor de esfuerzos es una combinación lineal de todas las componentes del tensor de deformación(8). i.e. Cᵢjpq ϶ Ԏij = Cijpqᵉpq El tensor cijpq es llamado el tensor de elasticidad. Debido a la simetría que posee el tensor de esfuerzos, el número de componentes independientes del tensor de elasticidad se reduce de 81 a 21. La tierra es un medio anísotrópico (sus propiedades cambian cuando se cambia de orientación), pero puede ser considerado, cuando no se estudian propiedades locales de la corteza, como isotrópico (sus propiedades en cualquier posición son independientes de la orientación). En el caso de los medios isotrópicos, ha sido demostrado (Jeffreys & Jeffreys, 1972) que el tensor de cuarto orden más general que tiene las simetrías exigidas por la isotropía (invariante bajo rotaciones) tiene la forma: Cijkl = λỢijỢkl + ʋ(ỢikỢjl + ỢilỢjk) λ y ʋ son conocidas como los parámetros de Lamé. Estos parámetros se relacionan de forma directa con los módulos de compresibilidad volumétrica y rigidez transversal. Así, sustituyendo en la ecuación (7), tenemos que para un medio isotrópico la ley de Hooke se reduce a: Ԏij = λᵉkkỢij + 2ʋeij NOTA. ¹ El estudio de las ondas sísmicas (también conocidas como ondas elásticas) tanto en su generación como en su transmisión en el interior de la tierra y su recopilación en registros en la superficie de la tierra Es bajo el alcance de esta ciencia, una ciencia físico-matemática aplicada, que se encuentra el estudio del operador de reflexión de la onda sísmica. ² La ecuación de movimiento es una ecuación diferencial de segundo grado en el desplazamiento sometida a condiciones de frontera, por tanto debemos justificar la unicidad de la solución para el desplazamiento. Además, como es usual, serán necesarios para el desarrollo matemático posterior, teoremas de representación y reciprocidad. ³ Al introducir la derivada temporal dentro del signo de la integral, obtuvimos la llamada Derivada de Stokes (también llamada por algunos autores Derivada Material): D/Dt = Ə/Ət + v ●▼ Físicamente, esta derivada representa la razón de cambio de una variable medida por un observador que se mueve con el volumen V. (4) En Sismología esto se justifica ya que tanto los desplazamientos como las velocidades son despreciables comparadas con la longitud dela onda sísmica. (5) El promedio de las fuerzas de tracción en el área es cero debido a la continuidad de las fuerzas de Tracción. (6) Recordemos que la derivarla de Stokes es D/Dt = Ə/Ət + v ●▼ (7) Para un resorte, Hooke presentó la ley F = -kx; Para una cuerda la deformación y los esfuerzos están relacionados por medio del módulo de Young, pero en nuestro medio tri-dimensional necesitamos un tensor de cuarto orden para esta relación. (8) Se tiene una ecuación tensorial. El tensor de esfuerzos es un tensor de segundo rango. Así que el lado derecho de la ecuación debe ser una reducción de orden del tensor Cijpq. Esto indica que el tensor de deformación debería ser un tensor contravariante. Sin embargo lo escribimos como covariante pues tanto éste como los dos restantes son tensores cartesianos.