Visualización y derivación de ondas gravitacionales mediante los modos de polarización hx y h+ en un sistema binario bajo el calibre TT

Abstract

Como parte de este presente trabajo se llevó a cabo la derivación de las ecuaciones de campo a partir del principio estacionario de Hamilton. Esto se realizó generalizando el concepto de la acción en mecánica clásica a la teoría clásica de campos utilizando un refinamiento de red. Seguidamente se mostró la forma y dependencias que toma la densidad lagrangiana bajo dicha teoría, luego, a manera de probar las cuatro condiciones que exige el teorema de Lovelock, se demostraron las siguientes condiciones sobre la densidad lagrangiana: invariante bajo difeomorfismos, localidad y densidad escalar, dependencia lineal respecto a las dos primeras derivadas del campo. Durante este proceso se hizo uso de conceptos de geometría diferencial tal como lo son las formas diferenciales, el producto exterior, el teorema de Stokes generalizado, etc. Después de demostrar las condiciones sobre la densidad lagrangiana, se introdujo la derivada de Fréchet de este respecto a la métrica usual. Esto permitió generar la forma del tensor utilizado en el teorema de Lovelock; este exige que dicho tensor debe de ser: simétrico, concomitante de la métrica, divergencia nula y lineal respecto a las segundas derivadas de la métrica. De dichas propiedades la única que no es automáticamente satisfecha mediante las propiedades de la densidad lagrangiana previamente mostradas es la divergencia nula, esta se demostró mediante el segundo teorema de Emmy Noether. Al aplicar el teorema de Lovelock, se logró especificar la forma resultante del tensor formado apartir de la derivada de Fréchet de la densidad lagrangiana. Esta forma resultante es la del tensor de Einstein, y de esta forma se extrajeron las ecuaciones de campo de Einstein mediante el principio estacionario de Hamilton. Seguidamente se presentó cómo al aplicar las condiciones de linealización de la gravedad, y los ca libres de Lorenz y TT, los resultados de las ecuaciones de campo son restringidos a ecuaciones de ondas planas. Esto se llevó a cabo con un gran nivel de detalle, mostrando como cada componen te de los elementos concomitantes de la métrica, como el tensor de Ricci, su escalar, el tensor de Riemann, los símbolos de Christoffel y el tensor de Einstein, se desvanece o permanece al aplicar la condición de linealización. De misma forma se mostró componente por componente cómo al aplicar las condiciones de calibre de Lorenz y TT, las 16 componentes independientes de la ecuación de onda resultante, son reducidas a únicamente dos componentes independientes, siendo estas los modos de polarización h+ y h×. Finalmente, se utilizaron las expresiones encontradas para los modos de polarización para formar un programa que visualice los efectos/perturbaciones que estos inducen sobre el espacio-tiempo, esto se llevó a cabo mediante la proyección cuadrupolar del strain gravitacional generado por dichos modos bajo la aproximación posnewtoniana de orden(0PN). La visualización presentada utiliza las aproximaciones derivadas de la teoría anterior para calcular la frecuencia ISCO, el strain gravitacional, el tiempo al merger y la frecuencia máxima posible para que el sistema no se salga de la aproximación (0PN). Además se introdujo a la visualización un factor de escala visual de la forma S = fsnap 500 para la fase espacial, este se implementó a manera de cumplir con el principio de Nyquist-Shannon para la simulación de ondas.

As part of this work, the derivation of the field equations was carried out starting from Hamilton’s stationary principle. This was done by generalizing the concept of action from classical mechanics to classical field theory, using a lattice refinement approach. Subsequently, the form and dependencies of the Lagrangian density under this theory were presented. Then, in order to verify the four conditions required by Lovelock’s theorem, the following properties of the Lagrangian density were demonstrated: invariance under diffeomorphisms, locality and scalar density, and linear dependence with respect to the first two derivatives of the field. During this process, concepts from differential geometry were employed, such as differential forms, the exterior product, and the generalized Stokes theorem, among others.

After demonstrating the properties of the Lagrangian density, the Fréchet derivative of the latter with respect to the standard metric was introduced. This allowed for the generation of the form of the tensor used in Lovelock’s theorem, which requires that this tensor be symmetric, concomitant with the metric, divergence-free, and linear with respect to the second derivatives of the metric. Among these properties, the only one not automatically satisfied by the Lagrangian density’s characteristics was the divergence-free condition, which was proven through Emmy Noether’s second theorem. By applying Lovelock’s theorem, the resulting form of the tensor derived from the Fréchet derivative of the Lagrangian density was specified. This resulting form corresponds to the Einstein tensor, from which the Einstein field equations were derived through Hamilton’s stationary principle. Next, it was shown that, by applying the linearization conditions of gravity and the Lorenz and TT gauges, the resulting field equations are restricted to plane wave equations. This process was detailed extensively, demonstrating how each component of the metric’s concomitant elements—such as the Ricci tensor, its scalar, the Riemann tensor, the Christoffel symbols, and the Einstein tensor—either vanishes or remains under the linearization condition. Similarly, it was shown, component by component, how the application of the Lorenz and TT gauge conditions reduces the sixteen independent components of the resulting wave equation to only two independent components, corresponding to the polarization modes h₊ and h×.

Finally, the expressions derived for the polarization modes were used to develop a program that visualizes the effects or perturbations these modes induce on spacetime. This was achieved through the quadrupolar projection of the gravitational strain generated by these modes under the post-Newtonian approximation of order (0PN). The visualization employs the approximations derived from the previous theory to compute the ISCO frequency, gravitational strain, time to merger, and maximum possible frequency before the system departs from the (0PN) approximation. In addition, a visual scaling factor of the form 𝑆 = 𝑓 𝑠 𝑛 𝑎 𝑝 500 S= 500 f snap ​

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was introduced for the spatial phase. This was implemented to comply with the Nyquist–Shannon sampling theorem for the wave simulation.