Generalización del principio de incertidumbre de Heisenberg en el marco del análisis de Fourier sobre S(ℝᵈ)

Abstract

El trabajo a continuación consiste de una presentación detallada de la teoría básica del análisis de Fourier en el marco de los espacios de Schwartz sobre R y R d . En cada caso, se incluye una exposición de la manera en que esta teoría puede utilizarse para obtener una versión completamente matemática, en la forma de un teorema, del principio de incertidum bre de Heisenberg para funciones pertenecientes a estos espacios. El capítulo 5 presenta los rudimentos del análisis en R d , establece un marco teóri co riguroso para la convergencia de integrales impropias en R d , e introduce las principales propiedades (para fines de este trabajo) de los espacios de funciones con descenso moderado. El capítulo 6 introduce los espacios de Schwartz sobre R, los rudimentos del análisis de Fourier, y las principales propiedades de la transformada de Fourier necesarias para obtener el principio de incertidumbre en su versión para funciones de Schwartz de una sola variable. Estas propiedades incluyen entre otras, la transformada inversa de Fourier y la identidad de Plancherel. El capítulo 7 sigue una estructura muy similar a la del capítulo 6 con la diferencia de que ahora los resultados son extendidos a los espacios de Schwartz sobre R d . Posteriormente, dichos resultados se utilizan para obtener una versión más general — para funciones de Sch wartz definidas sobre R d — del principio de incertidumbre presentado al final del capítulo 6. El capítulo 8 consiste de una breve discusión sobre la teoría más general del análisis armónico abstracto, los grupos LCA, la dualidad de Pontryagin, las integrales de Haar, y la manera en que las principales propiedades de la transformada de Fourier identificadas en capítulos anteriores pueden recuperarse de manera eficiente, como casos especiales de la teoría más general del análisis armónico abstracto. El trabajo concluye con una discusión en tres partes, sobre la historia de la transformada de Fourier y el rol clave que jugó en el desarrollo del análisis matemático, su relación con el principio de incertidumbre de Heisenberg, al igual que la utilidad de disponer de una versión completamente matemática de dicho principio, tanto en el contexto de sus posibles aplicaciones a otras disciplinas, como en el dominio de la investigación matemática actual.

The following work consists of a detailed presentation of the basic theory of Fourier analysis within the framework of Schwartz spaces on ℝ and ℝᵈ. In each case, an exposition is included on how this theory can be used to obtain a fully mathematical version, in the form of a theorem, of Heisenberg’s uncertainty principle for functions belonging to these spaces.

Chapter 5 presents the fundamentals of analysis on ℝᵈ, establishes a rigorous theoretical framework for the convergence of improper integrals in ℝᵈ, and introduces the main properties (for the purposes of this work) of function spaces with moderate decay.

Chapter 6 introduces the Schwartz spaces on ℝ, the fundamentals of Fourier analysis, and the main properties of the Fourier transform necessary to derive the uncertainty principle in its version for one-variable Schwartz functions. These properties include, among others, the inverse Fourier transform and Plancherel’s identity.

Chapter 7 follows a structure very similar to that of Chapter 6, with the difference that the results are now extended to Schwartz spaces on ℝᵈ. Subsequently, these results are used to obtain a more general version—for Schwartz functions defined on ℝᵈ—of the uncertainty principle presented at the end of Chapter 6.

Chapter 8 consists of a brief discussion of the more general theory of abstract harmonic analysis, LCA groups, Pontryagin duality, and Haar integrals, as well as how the main properties of the Fourier transform identified in previous chapters can be efficiently recovered as special cases of the broader theory of abstract harmonic analysis.

The work concludes with a three-part discussion on the history of the Fourier transform and the key role it played in the development of mathematical analysis, its relationship with Heisenberg’s uncertainty principle, and the usefulness of having a fully mathematical version of this principle—both in the context of its potential applications to other disciplines and within the domain of current mathematical research.