Publicación: Límites en la velocidad de evolución en sistemas cuánticos de dos fermiones
| dc.contributor.advisor | Valdés Hernández, Andrea | |
| dc.contributor.author | Rios Kirste, Adam Sebastian | |
| dc.date.accessioned | 2026-03-26T16:04:26Z | |
| dc.date.issued | 2025 | |
| dc.description | Formato PDF digital — 59 páginas — incluye gráficos, tablas y referencias bibliográficas. | |
| dc.description.abstract | En el trabajo que se presenta a continuación se investigan los límites fundamentales en la evolución temporal de sistemas cuánticos conformados por dos fermiones idénticos no interactuantes, con cuatro niveles accesibles cada uno. Para poder estudiar dichos sistemas se utilizó el método de la segunda cuantización, el cual permite una formulación más práctica de la dinámica de los sistemas cuánticos, facilitando la construcción de los estados en los que se encuentra el sistema bipartito. Con esta base, se han considerado tres configuraciones distintas en los niveles energéticos del sistema, y para cada una de ellas se ha calculado el llamado límite de rapidez cuántica, que establece el tiempo mínimo que se requiere para que un estado inicial evolucione hacia un estado ortogonal. | spa |
| dc.description.abstract | In the work presented below, the fundamental limits on the temporal evolution of quantum systems composed of two identical non-interacting fermions, each with four accessible energy levels, are investigated. In order to study these systems, the method of second quantization was used, which allows for a more practical formulation of quantum system dynamics, facilitating the construction of the states in which the bipartite system is found. Based on this approach, three different configurations of the system’s energy levels were considered, and for each of them the so-called quantum speed limit was calculated, which establishes the minimum time required for an initial state to evolve into an orthogonal state. In addition to the analytical study, Wolfram Mathematica software was used to generate graphs representing, for each configuration, the corresponding quantum speed limit for such temporal evolution. A color scale was employed to facilitate the identification of key points, which allow the calculation of the minimum time in which an initial state of the quantum system evolves to reach an orthogonal state for a specific system. By obtaining these limits, progress was made in the understanding and establishment of lower bounds on the speed of evolution in two-fermion systems under different configurations. | eng |
| dc.description.degreelevel | Pregrado | |
| dc.description.degreename | Licenciado en Física | |
| dc.description.tableofcontents | Prefacio v Lista de figuras viii Lista de cuadros ix Resumen x 1. Introducción 1 2. Justificación 3 3. Objetivos 4 3.1. Objetivo general . 4 3.2. Objetivos específicos . 4 4. Marco teórico 5 4.1. Sistemas de fermiones indistinguibles . 5 4.1.1. Estados de sistemas distinguibles . 5 4.1.2. Estados de fermiones indistinguibles . 6 4.2. Límites fundamentales a la rapidez de evolución . 9 4.2.1. La relación de Mandelstam-Tamm . 10 4.2.2. La relación de Margolus-Levitin . 11 4.2.3. La relación dual de Margolus-Levitin . 12 4.2.4. Límite de rapidez cuántica . 12 4.3. Sistema de dos fermiones con cuatro estados de ocupación accesibles . 14 4.3.1. Evolución temporal . 14 4.3.2. Cálculo del valor esperado y la dispersión de la energía . 16 5. Límite de rapidez cuántica en sistemas fermiónicos 18 5.1. Configuración con niveles de ocupación equidistantes . 18 5.2. Configuración tipo anillo para primeros vecinos . 24 5.3. Configuración tipo anillo con atajos . 30 6. Conclusiones 37 7. Recomendaciones 39 vi 8. Bibliografía 40 9. Anexos 42 9.1. Código en Wolfram Mathematica del sistema con niveles de energía equidistantes 42 9.2. Código en Wolfram Mathematica del sistema tipo anillo para vecinos cercanos . 43 9.3. Código en Wolfram Mathematica del sistema tipo anillo atajos . 44 10.Glosario 47 vii Lista de figuras 5.1. Gráfica del límite de rapidez cuántica para la configuración equidistante . 23 5.2. Diagrama de configuración tipo anillo para primeros vecinos . 24 5.3. Gráfica del límite de rapidez cuántica para la configuración tipo anillo para primeros vecinos . 29 5.4. Diagrama de configuración tipo anillo con atajos . 30 5.5. Gráfica del límite de rapidez cuántica para la configuración tipo anillo con atajos 35 viii Lista de cuadros 4.1. Límite fundamental dominante . 13 ix Resumen En el trabajo que se presenta a continuación se investigan los límites fundamentales en la evolu- ción temporal de sistemas cuánticos conformados por dos fermiones idénticos no interactuantes, con cuatro niveles accesibles cada uno. Para poder estudiar dichos sistemas se utilizó el método de la segunda cuantización, el cual permite una formulación más práctica de la dinámica de los sistemas cuánticos, facilitando la construcción de los estados en los que se encuentra el sistema bipartito. Con esta base, se han considerado tres configuraciones distintas en los niveles energéticos del sistema, y para cada una de ellas se ha calculado el llamado límite de rapidez cuántica , que establece el tiempo mínimo que se requiere para que un estado inicial evolucione hacia un estado ortogonal. Además del estudio analítico, se utilizó el software Wolfram Mathematica para la generación de gráficos que representan, para cada configuración, el límite de rapidez cuántica correspondiente a dicha evolución temporal. Se utilizó una escala de color para facilitar la identificación de puntos clave los cuales permiten calcular el tiempo mínimo en el cual un estado inicial del sistema cuántico evoluciona hasta alcanzar un estado ortogonal para un sistema en específico. Al obtener dichos límites se logró avanzar en la comprensión y el establecimiento de cotas mínimas a la rapidez de evolución en sistemas de dos fermiones, bajo diferentes configuraciones. x CAPÍTULO 1 Introducción Gracias al desarrollo de la teoría cuántica la humanidad ha sido capaz de comprender mejor los procesos a nivel subatómicos, como puede ser el comportamiento de una partícula. Se ha descubierto que a este nivel, las partículas no se comportan de manera determinista sino que están sujetas a leyes probabilistas y a fenómenos como la superposición y el entrelazamiento cuántico (Griffiths and Schroeter, 2018). Uno de los temas centrales de estudio en las últimas décadas en relación con la dinámica de sis- temas cuánticos es el de los límites fundamentales cuánticos. Estos son límites teóricos que definen muchos de los comportamientos en los sistemas cuánticos y gracias a ellos es posible comprender qué tanto un sistema puede cambiar en el tiempo (Frey, 2016; Deffner and Campbell, 2017; Margolus and Levitin, 1998). Uno de estos límites fundamentales es el límite de rapidez cuántica. Este indica cuán rápido puede un sistema cuántico evolucionar hacia un estado ortogonal al inicial. Gracias a trabajos como el de Mandelstam-Tamm (Mandelstam and Tamm, 1945), el de Margolus-Levitin (Margolus and Levitin, 1998) y el de Ness y colaboradores (Ness et al., 2022) (los cuales se abordarán más adelante en este trabajo) se tiene una mejor comprensión de dicho límite. El entendimiento de los límites fundamentales cuánticos no es únicamente de carácter teórico, sino que también es crucial su comprensión práctica ya que también es posible de esta forma en- tender cómo se comportan y pueden controlar los sistemas cuánticos (Nielsen and Chuang, 2000). Un ejemplo de ello son las computadoras cuánticas, pues mientras más rápido un sistema cuántico pueda evolucionar de un estado a otro ortogonal, mejor será la capacidad de realizar operaciones. La velocidad de evolución también juega un papel importante en los procesos de decoherencia, la cual es la responsable de la pérdida de propiedades cuánticas en sistemas interactuando con el entorno. También tiene otras aplicaciones en áreas como la metrología y el procesamiento de información cuántica (Deffner and Campbell, 2017; Levitin and Toffoli, 2009). Existen investigaciones previas a esta, como es el caso de (Canseco, 2021; Valdés-Hernández and Canseco, 2022), en las que se estudió el límite de rapidez cuántica en sistemas compuestos de dos fermiones indistinguibles, cada uno con niveles de energía equidistante, y en donde se tomaron en cuenta los límites fundamentales establecidos por Mandelstam-Tamm y Margolus-Levitin (Mandels- tam and Tamm, 1945; Margolus and Levitin, 1998). Como una extensión de los trabajos (Canseco, 2021; Valdés-Hernández and Canseco, 2022), en la investigación presente se utilizará además el tra- 1 bajo presentado por Ness y colaboradores (Ness et al., 2022) en el 2022, el cual presenta una nueva cota para la evolución temporal de sistemas cuánticos. Esto plantea preguntas sobre cómo esta nueva cota influirá en los resultados de investigaciones ya realizadas, por lo que se pretende abordar aquí dicho problema. Además, se tomarán en cuenta los tres límites fundamentales antes mencionados aplicados al sistema de dos fermiones en las configuraciones de energía propuestas en (Oliveira et al., 2008) para estudiar como se comportará el límite de rapidez cuántico en cada una de ellas. 2 CAPÍTULO 2 Justificación En los últimos años se han realizado múltiples investigaciones sobre la rapidez de evolución en diversos sistemas cuánticos (Frey, 2016; Deffner and Campbell, 2017), incluyendo sistemas compues- tos por fermiones (Oliveira et al., 2008; Canseco, 2021; Valdés-Hernández and Canseco, 2022). Estos trabajos tomaron en cuenta las cotas de la evolución temporal de estados cuánticos propuestos en (Mandelstam and Tamm, 1945; Margolus and Levitin, 1998); sin embargo, no ha sido incluida en el análisis la cota propuesta por (Ness et al., 2022) en 2022. Esta será una tarea que se abordará en esta investigación. Además, estas tres cotas serán estudiadas en diferentes configuraciones del sistema, definidas en (Oliveira et al., 2008). Esto no solo permite una comprensión más profunda de la dinámica de estos sistemas en particular, sino que también aporta una mejor perspectiva sobre los propios límites cuánticos al observar su comportamiento en contextos específicos. 3 CAPÍTULO 3 Objetivos 3.1. Objetivo general Encontrar el tiempo mínimo de evolución (límite de rapidez cuántica) para tres configuraciones energéticas de un sistema cuántico conformado por dos fermiones idénticos no interactuantes, con cuatro niveles de energía accesibles cada uno. 3.2. Objetivos específicos Comprender y utilizar el método de la segunda cuantización para describir la dinámica de sistemas compuestos por fermiones idénticos. Comprender y calcular las cotas mínimas al tiempo de evolución entre estados ortogonales, para determinar el límite de rapidez cuántica. Encontrar expresiones matemáticas que describan la dinámica de los fermiones para cada una de las tres configuraciones a considerar, y calcular en cada caso el límite de rapidez cuántica analíticamente. Obtener gráficos de color que ayuden a identificar los tiempos mínimos de ortogonalidad de un estado inicial arbitrario para cada una de las configuraciones energéticas. 4 CAPÍTULO 4 Marco teórico 4.1. Sistemas de fermiones indistinguibles 4.1.1. Estados de sistemas distinguibles Existen sistemas cuánticos compuestos, también llamados sistemas multipartitos, los cuales están conformados por dos o más subsistemas, que propiamente también son sistemas cuánticos. En un espacio de Hilbert H correspondiente a m subsistemas, se puede hacer referencia al subsistema α , tal que 1 ≤ α ≤ m , el cual se describe en el espacio de Hilbert H α de dimensión d α (Buchleitner et al., 2009). Para poder expresar entonces el estado del sistema completo debe recurrirse al espacio de Hilbert completo H , que se construye a partir del producto tensorial de los espacios de Hilbert de cada subsistema: H = m O α =1 H α , (4.1) donde H 1 , H 2 , , H α son los espacios correspondientes a cada subsistema (Buchleitner et al., 2009). Posteriormente se considerará un estado puro , el cual es aquel que puede escribirse en términos de un solo vector de estado con la siguiente forma general: | ψ ⟩ = X v 1 ,v 2 , ,v m A v 1 ,v 2 , ,v m | v 1 ⟩ ⊗ | v 2 ⟩ ⊗ ⊗ | v m ⟩ , (4.2) donde {| v α ⟩} = {| 1 ⟩ , | 2 ⟩ , , | d α ⟩} es una base de H α y los coeficientes A v 1 ,v 2 , ,v m son amplitudes de probabilidad. Cuando el estado es separable (o no enredado), la ecuación (4.2) puede expresarse como el producto de estados puros de sus m partes, es decir que | ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ ⊗ ⊗ | ψ m ⟩ . (4.3) 5 4.1.2. Estados de fermiones indistinguibles Dado el caso donde existan dos subsistemas conformando un sistema cuántico, es decir un sistema bipartito, se puede partir de la ecuación (4.1) tomando m = 2 , obteniendo así, H = H 1 ⊗ H 2 . Si los subsistemas son iguales se tiene que H 1 = H 2 y debe recurrirse al subespacio simétrico de H 1 ⊗ H 2 en el caso de los bosones, o al subespacio antisimétrico en el caso de fermiones (Canseco, 2021; de la Peña, 2006). Si se continúa hablando de un sistema bipartito y se desea trabajar con fermiones, se puede denotar el espacio antisimétrico del espacio de Hilbert como un producto antisimétrico, es decir H f ∧ H f donde H f representa el espacio de Hilbert de un único fermión. Sistema fermiónico Se definirá {| i ⟩} como el conjunto de estados ortogonales accesibles que puede tener un solo fermión, también llamados estados o niveles de ocupación accesibles, {| i ⟩} = {| i 1 ⟩ , | i 2 ⟩ , . , i d f } (4.4) donde d f = dim H f . Además, los elementos de {| i ⟩} forman una base de H f . Se considerarán los estados | i l ⟩ y | i m ⟩ , donde cada uno de estos vectores pertenece a {| i ⟩} . Puesto que los estados del sistema compuesto de dos fermiones tienen que estar debidamente antisimetriza- dos, se aplicará el operador de antisimetrización ( ˆ S − ) obteniendo así: ˆ S − | i m , i l ⟩ = 1 √ 2 ( | i m i l ⟩ − | i l i m ⟩ ) . (4.5) La ecuación (4.5) es cero (es decir que ˆ S − | i m , i l ⟩ = 0 ), cuando los dos fermiones ocupan el mismo estado (esto quiere decir, cuando | i m ⟩ = | i l ⟩ ). Por lo tanto, sólo cuando los estados de las partículas en un sistema fermiónico son diferentes entre sí, la función de onda de dicho sistema será distinta de cero. Al principio que establece que los estados de ferm | spa |
| dc.format.extent | 59 p. | |
| dc.format.mimetype | application/pdf | |
| dc.identifier.uri | https://repositorio.uvg.edu.gt/handle/123456789/6359 | |
| dc.language.iso | spa | |
| dc.publisher | Universidad del Valle de Guatemala | |
| dc.publisher.branch | Campus Central | |
| dc.publisher.faculty | Facultad de Ciencias y Humanidades | |
| dc.publisher.place | Guatemala | |
| dc.publisher.program | Licenciatura en Física | |
| dc.relation.references | Bibliografía Batle, J., Casas, M., Plastino, A., and Plastino, A. R. (2018). On the connection between entangle- ment and the speed of quantum evolution. Physical Review A , 72:032337. | |
| dc.relation.references | Buchleitner, A., Viviescas, C., and Tiersch, M., editors (2009). Entanglement and Decoherence: Foundations and Modern Trends , volume 768 of Lecture Notes in Physics . Springer. | |
| dc.relation.references | Canseco, S. (2021). Límite de rapidez cuántico en sistemas fermiónicos enredados. Master’s thesis, Maestría en Ciencias (Física), Universidad Nacional Autónoma de México. | |
| dc.relation.references | de la Peña, L. (2006). Introducción a la Mecánica Cuántica . EDICIONES CIENTÍFICAS UNIVER- SITARIAS. | |
| dc.relation.references | Deffner, S. and Campbell, S. (2017). Quantum speed limits: from heisenberg’s uncertainty principle to optimal quantum control. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 50:453001. | |
| dc.relation.references | Frey, M. R. (2016). Quantum speed limits—primer, perspectives, and potential future directions. Quantum Information Processing , 15(10):3919–3950. | |
| dc.relation.references | Griffiths, D. J. and Schroeter, D. F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics . Cambridge University Press, Cambridge, UK, 3rd edition. | |
| dc.relation.references | Levitin, L. B. and Toffoli, T. (2009). Fundamental limit on the rate of quantum dynamics: The unified bound is tight. Physical Review Letters , 103(16). | |
| dc.relation.references | Mandelstam, L. and Tamm, I. (1945). The uncertainty relation between energy and time in nonre- lativistic quantum mechanics. Journal of Physics , 9:249. | |
| dc.relation.references | Margolus, N. and Levitin, L. (1998). The maximum speed of dynamical evolution. Physica D , 120:188–195. | |
| dc.relation.references | Ness, G., Alberti, A., and Sagi, Y. (2022). Quantum speed limit for states with a bounded energy spectrum. Physical Review Letters , 129(14):140403. | |
| dc.relation.references | Nielsen, M. A. and Chuang, I. L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information . Cam- bridge University Press, Cambridge, UK. | |
| dc.relation.references | Oliveira, V. C. G., Santos, H. A. B., Torres, L. A. M., and Souza, A. M. C. (2008). Entanglement in the dynamical evolution of composite fermionic systems. International Journal of Quantum Information , 6(2):379–391. | |
| dc.relation.references | Robertson, H. P. (1929). The uncertainty principle. Physical Review , 34(1):163–164. | |
| dc.relation.references | Sakurai, J. J. and Napolitano, J. (2020). Modern Quantum Mechanics . Cambridge University Press, Cambridge, UK, 3rd edition. | |
| dc.relation.references | Valdés-Hernández, A. and Canseco, S. (2022). Speed of evolution in entangled fermionic system. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 55:22. | |
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| dc.rights.license | Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0) | |
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| dc.subject.armarc | Fermions | |
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| dc.title.translated | Limits on the speed of evolution in two-fermion quantum systems | |
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