El teorema del mapeo abierto de Riemann

Abstract

En el presente trabajo estudiamos las diferentes clases de abiertos simplemente conexos de los números complejos, entre los cuales podemos encontrar transformaciones que preservan ángulos entre rectas y que sean biyectivas. El teorema del mapeo abierto de Riemann nos da la respuesta. Por esto estudiamos los automorfismos y avanzamos hacia las funciones biholomorfas, vemos cómo transforma el disco unitario hacia el semiplano superior. Luego vemos familias de funciones biholomorfas y algunos usos de estas funciones en campos aplicados. También usamos este teorema como herramienta para solucionar ecuaciones diferenciales, hallar funciones armónicas en dominios poco usuales y un método para resolver el problema de Dirichlet.

In present work we study the diferent types of simply connected open sets of the complex numbers among which exist transformations that preserve angles between curves and are also bijective. The open Riemann mapping theorem gives us the answer. We proceed to study the automorphisms to advance to the study of the biholomorphic functions. We see how the unit disc transforms into the upper half plane. Then we study some family of biholomorphic functions and some uses of this type of function in applied elds. Also, we use this theorem as a tool for nding solutions of di erential equations, nding harmonic functions in unusual regions, and as a method to solve Dirichlet's problem. Finally, we conclude with an introduction of Riemann's surfaces and a brief study of a generalization of the theorem.