Topologías y pretopologías : modelación en redes complejas.

Abstract

La topología estudia propiedades geométricas que se quedan invariantes bajo la aplicación de mapeos continuos. Por otro lado, la teoría de grafos busca modelar la vida cotidiana a través de vértices y nodos para así resolver problemas con base a relaciones que puedan encontrarse entre los diferentes vértices. La topología se expone desde el concepto de abiertos, los axiomas de Kuratowski parten de conceptualizar la topología desde un enfoque más intuitivo, que es la cerradura, es más fácil asociar el concepto de cerradura a nuestra vida cotidiana que el concepto de “abiertos”, pues intuitivamente no vemos espacios que no contengan a sus puntos límite. Estos axiomas permitieron el inicio de un estudio más intuitivo de las redes complejas y, sin embargo, el axioma 4, el que establece la idempotencia del operador que presentó Kuratowski no se adhiere a la realidad. Las redes complejas pretenden estudiar, entre otras cosas, fenómenos de la ciencias sociales, tales como redes de contagio de alguna enfermedad, modelos económicos u otros, y la propiedad de idempotencia contradice la idea de que en la realidad los objetos (vértices en una red) pueden acercarse aún más bajo el tiempo de estudio, de esto parte el desarrollo de nuevos conceptos para el estudio de redes y nace la rama de la matemática conocida como la pretopología. La pretopología pretende crear una conexión entre las dos ramas presentadas anteriormente: a través de nociones topológicas, grafos y relaciones se pretende innovar y crear nuevos conceptos con el fin de analizar modelos de redes complejas utilizando criterios de proximidad y “acercamiento”. En la primera parte de esta tesis se expondrán algunos conceptos básicos de la teoría de grafos, así como ejemplos de modelos de teoría de grafos utilizados para redes complejas y sus deficiencias. En la segunda parte se expondrán las nociones básicas de topología hasta llegar a los axiomas de Kuratowski y se terminará presentando la teoría de Pretopología y su necesidad dada lo expuesto en la primera y segunda parte de esta tesis. (A)