Abstract:
INTRODUCCIÓN. El presente trabajo, es el producto de un estudio
dirigido por el Doctor William T. England y tiene como
propósito ser una Tesis para sustentar el examen general
para la obtención del Grado de Licenciado en Matemáticas,
en la Universidad del Valle de Guatemala. A
continuación explico los fines y el proceso fundamental de la Tesis en referencia.
Enmarcados en la teoría de espacios de Hilbert,
buscamos un procedimiento que nos permita encontrar
operadores diferenciales tales que el conjunto de eigenfunciones
asociada al operador sea un conjunto orto normal completo. Con esto mostramos la existencia de
expansiones en series ortonormales de eigenfunciones
(convergentes en la métrica del producto escalar).
Sabemos que los operadores diferenciales son no
acotados. Un hecho fundamental del trabajo es que éste
se desarrolla al margen de la teoría de operadores
no acotados. Nosotros deducimos la existencia de series
ortonormales de eigenfunciones vía el teorema espectral,
de las propiedades de la función de Green asociada a un problema de frontera.
En el trabajo hay dos desarrollos convergentes. Por
una parte, el planteamiento exacto del tipo de problema
que queremos resolver para operadores diferenciales, definidos
utilizando condiciones de frontera (cap. II).
Por otra parte, un estudio de operadores integrales (compactos) y la teoría espectral asociada con este tipo de
operadores (cap. I y III), que nos da la herramienta necesaria
para resolver nuestro problema.
Como sabemos, un operador diferencial está definido
en un subconjunto de las funciones continuas, y para operadores no acotados, el escogimiento del dominio es un
hecho crucial, desde el punto de vista de la estructura
del operador. En el capítulo II tratamos con operadores
diferenciales formales; este concepto nos permite encontrar
unos tipos de condiciones de frontera que van a determinarnos
dominios de operadores a los cuales podamos
aplicar nuestro procedimiento. El procedimiento se basa
en lo siguiente: si definimos un operador diferencial
sobre un conjunto D de tal manera que el rango del operador sea el conjunto L² y si el operador inverso
existe, como operador de Hilbert Schmidt, entonces demostramos que esto es suficiente para que el conjunto de
eigenfunciones del operador diferencial sea un conjunto
completo. En el mismo capítulo II demostramos que las
condiciones de frontera del tipo de Sturm-Liouville y
las condiciones de periodicidad generalizadas nos determinan operadores diferenciales a los que el procedimiento es aplicable.
En realidad, nosotros no utilizamos, sino hasta el
último momento, la definición explícita de un operador.
Nuestra teoría se desarrolla con problemas de frontera
y conjuntos soluciones de ecuaciones diferenciales.
En el último capítulo, justificamos la existencia
de una expansión de Fourier para cualquier función en
(convergente en la métrica de la integral) con sólo
mostrar que en el problema de Frontera que da origen a
las funciones de Fourier las condiciones de frontera
son del tipo de periodicidad generalizadas.
