¿Cómo envolver la 3-esfera en la 2-esfera? Una propuesta para facilitar el acceso y la comprensión de las estructuras fundamentales de la topología algebraica.

Abstract

En este trabajo partimos del escrito de Poincaré que da origen a la topología algebraica, Analysis Situs para cuestionar el nivel técnico requerido para calcular π3(S 2 ). Notamos que las ideas originales de Poincaré no tenían altos requerimientos técnicos y eran más bien intuitivas. Planteamos y resolvemos la pregunta ¿por qué es fácil entender el grupo fundamental pero no el resto de grupos de homotopía? y encontramos que la respuesta está en el uso de trayectorias y el orden de los números reales. Planteamos que las trayectorias son intuitivas pues son una idea impresa en la naturaleza humana, en particular en la abstracción del movimiento y de los recorridos. Luego hacemos una presentación más ligera de las herramientas necesarias para calcular algunos grupos de homotopía. Esta se basa en una definición formal que se puede traducir a un algoritmo más intuitivo. Presentamos dos herramientas auxiliares, los fibrados y las suspensiones. Por último calculamos varios grupos de homotopía, π1(S 1 ), π1(T 2 ), π2(S 2 ), π2(S 1 ) y π3(S 2 ). Para calcular π1(S 1 ) utilizamos herramientas de variable compleja. Para π1(T 2 ) utilizamos un teorema auxiliar completamente contenido en la teoría. Para π2(S 2 ) utilizamos suspensiones y el teorema de Freudenthal. Generalizamos el resultado a πn(S n ). Para π2(S 1 ) utilizamos un fibrado y su secuencia exacta. Lo generalizamos a πn(S 1 ), n > 1.

π3(S 2 ) es el objetivo de este trabajo. Para su cálculo detallamos completamente el fibrado de Hopf, y damos una interpretación geométrica. Para afianzar la intuición mostramos imágenes de secciones del fibrado. Luego utilizamos algunos de los cálculos anteriores, y la secuencia exacta del fibrado para mostrar que π3(S 2 ) = Z. (LA)