Acciones de grupo y aplicaciones en la teoría de Galois y Teoría de representaciones.

Abstract

Este trabajo se enfoca en las acciones de grupo como una nueva metodología para impartir la teoría elemental de grupos en la UVG. Se introduce el concepto de acción de grupo sobre un conjunto, los conceptos de órbitas y estabilizadores y se demuestra el principio fundamental de conteo; el cual nos provee una relación entre el orden del grupo que realiza la acción, la cardinalidad de la órbita de un elemento del conjunto en el que sea actúa y el orden del estabilizador del mismo. Se prueba el teorema de Lagrange considerando la acción por multiplicación izquierda de un grupo finito sobre el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de un subgrupo dado. Asimismo, consideramos la acción por conjugación de un grupo sobre sí mismo y cómo esta acción, junto con el principio fundamental de conteo, nos permite derivar la ecuación de clases, la cual nos indica que el orden del grupo que realiza la acción es igual al orden del centro del grupo más los órdenes de ciertas clases conjugadas. Por otro lado, se prueban los primeros dos Teoremas de Sylow. El primer teorema de Sylow nos permite garantizar la existencia de subgrupos de ciertos tamaños, en otras palabras, es un seudoconverso del teorema de Lagrange. Para la prueba del primer teorema de Sylow, consideramos la acción por multiplicación izquierda de un grupo G sobre el conjunto de todos los subconjuntos de una cardinalidad específica. Mientras que el segundo teorema de Sylow nos indica que cualquier p-subgrupo, denotado por Q, es subgrupo de un conjugado de un p-subgrupo de Sylow, denotado por P. Para esta prueba consideramos la acción de Q por multiplicación izquierda en el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de P. Como último resultado de la teoría elemental de grupos, probamos el teorema de Burnside. Dicho teorema nos permite contar la cantidad de órbitas que se producen al tener una acción de un grupo en un conjunto. Ya que las órbitas de la acción particionan el conjunto X, nos permite hallar la cardinalidad del conjunto cociente X/G. Finalmente, para justificar dicho cambio de metodología en la impartición del curso de teoría de grupos, mostramos mediante dos ejemplos cómo las acciones de grupos son un tema recurrente en la matemática. Primero, mostramos que las acciones de grupo aparecen en la teoría de Galois ya que el grupo de Galois de un polinomio actúa sobre las raíces del mismo. Esta acción la utilizaremos para probar el conocido teorema que nos indica que si un número complejo es raíz de un polinomio sobre los reales, entonces su conjugado complejo también lo es. El segundo ejemplo proviene de la teoría de representaciones de grupos finitos. Para ello, consideramos la acción de un grupo finito sobre un espacio vectorial unitario finito dimensional; esto nos permite concebir los elementos del grupo como operadores del espacio y desarrollar así parte de la teoría de representaciones de grupos. (LA)