Álgebra diferencial aplicada a la búsqueda de condiciones necesarias para la existencia de antiderivadas elementales.

Abstract

En la presente tesis se definen a los operadores diferenciales en el contexto del álgebra, de manera que la antiderivada pueda ser vista como un operador inverso entre campos diferenciales. Se examinan a las funciones elementales como objetos algebraicos que presentan propiedades diferenciales especiales, con el objetivo de determinar las condiciones necesarias para que la antiderivada de una función sea elemental. Con esto en mente, se presenta un algoritmo de integración de funciones racionales que representa a la integral a través de una parte racional y una parte logarítmica, haciendo uso del resultante de Sylvester como herramienta. Este resultado se generaliza para cualquier campo de funciones elementales, de manera que si una antiderivada es elemental, entonces debe poseer una parte dentro de dicho campo, adicional a una parte compuesta por una cantidad finita de logaritmos de funciones en ese campo. Finalmente, se presentan algoritmos de Risch para integración de funciones elementales trascendentales, los cuales determinan si una función en campos con extensiones logarítmicas y exponenciales posee una antiderivada elemental, y en caso afirmativo, se presenta la solución en términos de una cantidad finita de funciones elementales. (LA)