La información de Fisher : teoría y aplicación en las distribuciones beta y gamma

Abstract

Este trabajo presenta un estudio sobre la geometría de la información, un área que vincula la estadística paramétrica con la geometría diferencial. A partir de fundamentos de probabilidad se establece un marco que interpreta familias paramétricas de distribuciones como variedades diferenciables equipadas con la métrica de Fisher–Rao. La tesis se organiza en tres bloques: (1) conceptos de probabilidad y estadística, donde se introduce la información de Fisher; (2) elementos de la geometría diferencial, centrados en variedades, formas fundamentales y geodésicas; y (3) la síntesis de ambos campos en la geometría de la información, analizando la estructura métrica inducida por la información de Fisher y sus implicaciones. El trabajo concluye con un análisis de cuatro familias de distribuciones —normal univariada y multivariada, beta y gamma— derivando la métrica de Fisher para cada caso, estudiando propiedades como la curvatura y analizando las geodésicas de sus espacios paramétricos. En estos modelos se observa curvatura negativa con consecuencias estadísticas. Este estudio reúne teoría y ejemplos para mostrar cómo el enfoque geométrico aporta una perspectiva común a problemas de inferencia, estimación y análisis de datos.

This work presents a study on information geometry, an area that connects parametric statistics with differential geometry. Based on fundamental concepts of probability, a framework is established that interprets parametric families of distributions as differentiable manifolds equipped with the Fisher–Rao metric.

The thesis is organized into three main sections: (1) concepts of probability and statistics, where Fisher information is introduced; (2) elements of differential geometry, focusing on manifolds, fundamental forms, and geodesics; and (3) the synthesis of both fields within information geometry, analyzing the metric structure induced by Fisher information and its implications.

The work concludes with an analysis of four families of distributions—univariate and multivariate normal, beta, and gamma—deriving the Fisher metric for each case, studying properties such as curvature, and analyzing the geodesics of their parameter spaces. In these models, negative curvature is observed, with relevant statistical implications.

This study brings together theory and examples to demonstrate how the geometric approach provides a unified perspective on problems of inference, estimation, and data analysis.