Abstract:
En este trabajo partimos del escrito de Poincaré que da origen a la topología algebraica, Analysis Situs para cuestionar el nivel técnico requerido
para calcular π3(S
2
). Notamos que las ideas originales de Poincaré no tenían
altos requerimientos técnicos y eran más bien intuitivas.
Planteamos y resolvemos la pregunta ¿por qué es fácil entender el grupo
fundamental pero no el resto de grupos de homotopía? y encontramos que
la respuesta está en el uso de trayectorias y el orden de los números reales.
Planteamos que las trayectorias son intuitivas pues son una idea impresa en
la naturaleza humana, en particular en la abstracción del movimiento y de
los recorridos.
Luego hacemos una presentación más ligera de las herramientas necesarias para calcular algunos grupos de homotopía. Esta se basa en una
definición formal que se puede traducir a un algoritmo más intuitivo. Presentamos dos herramientas auxiliares, los fibrados y las suspensiones.
Por último calculamos varios grupos de homotopía, π1(S
1
), π1(T
2
),
π2(S
2
), π2(S
1
) y π3(S
2
).
Para calcular π1(S
1
) utilizamos herramientas de variable compleja. Para π1(T
2
) utilizamos un teorema auxiliar completamente contenido en la
teoría. Para π2(S
2
) utilizamos suspensiones y el teorema de Freudenthal.
Generalizamos el resultado a πn(S
n
). Para π2(S
1
) utilizamos un fibrado y
su secuencia exacta. Lo generalizamos a πn(S
1
), n > 1.
π3(S
2
) es el objetivo de este trabajo. Para su cálculo detallamos completamente el fibrado de Hopf, y damos una interpretación geométrica. Para
afianzar la intuición mostramos imágenes de secciones del fibrado. Luego
utilizamos algunos de los cálculos anteriores, y la secuencia exacta del fibrado para mostrar que π3(S
2
) = Z. (LA)
