Teoría espectral de los operadores de Hilbert Schmidt y su relación con la teoría de operadores diferenciales.

Abstract

INTRODUCCIÓN. El presente trabajo, es el producto de un estudio dirigido por el Doctor William T. England y tiene como propósito ser una Tesis para sustentar el examen general para la obtención del Grado de Licenciado en Matemáticas, en la Universidad del Valle de Guatemala. A continuación explico los fines y el proceso fundamental de la Tesis en referencia. Enmarcados en la teoría de espacios de Hilbert, buscamos un procedimiento que nos permita encontrar operadores diferenciales tales que el conjunto de eigenfunciones asociada al operador sea un conjunto orto normal completo. Con esto mostramos la existencia de expansiones en series ortonormales de eigenfunciones (convergentes en la métrica del producto escalar). Sabemos que los operadores diferenciales son no acotados. Un hecho fundamental del trabajo es que éste se desarrolla al margen de la teoría de operadores no acotados. Nosotros deducimos la existencia de series ortonormales de eigenfunciones vía el teorema espectral, de las propiedades de la función de Green asociada a un problema de frontera. En el trabajo hay dos desarrollos convergentes. Por una parte, el planteamiento exacto del tipo de problema que queremos resolver para operadores diferenciales, definidos utilizando condiciones de frontera (cap. II). Por otra parte, un estudio de operadores integrales (compactos) y la teoría espectral asociada con este tipo de operadores (cap. I y III), que nos da la herramienta necesaria para resolver nuestro problema. Como sabemos, un operador diferencial está definido en un subconjunto de las funciones continuas, y para operadores no acotados, el escogimiento del dominio es un hecho crucial, desde el punto de vista de la estructura del operador. En el capítulo II tratamos con operadores diferenciales formales; este concepto nos permite encontrar unos tipos de condiciones de frontera que van a determinarnos dominios de operadores a los cuales podamos aplicar nuestro procedimiento. El procedimiento se basa en lo siguiente: si definimos un operador diferencial sobre un conjunto D de tal manera que el rango del operador sea el conjunto L² y si el operador inverso existe, como operador de Hilbert Schmidt, entonces demostramos que esto es suficiente para que el conjunto de eigenfunciones del operador diferencial sea un conjunto completo. En el mismo capítulo II demostramos que las condiciones de frontera del tipo de Sturm-Liouville y las condiciones de periodicidad generalizadas nos determinan operadores diferenciales a los que el procedimiento es aplicable. En realidad, nosotros no utilizamos, sino hasta el último momento, la definición explícita de un operador. Nuestra teoría se desarrolla con problemas de frontera y conjuntos soluciones de ecuaciones diferenciales. En el último capítulo, justificamos la existencia de una expansión de Fourier para cualquier función en (convergente en la métrica de la integral) con sólo mostrar que en el problema de Frontera que da origen a las funciones de Fourier las condiciones de frontera son del tipo de periodicidad generalizadas.