Abstract:
Este trabajo se enfoca en las acciones de grupo como una nueva metodología para impartir la
teoría elemental de grupos en la UVG. Se introduce el concepto de acción de grupo sobre un conjunto,
los conceptos de órbitas y estabilizadores y se demuestra el principio fundamental de conteo; el cual
nos provee una relación entre el orden del grupo que realiza la acción, la cardinalidad de la órbita
de un elemento del conjunto en el que sea actúa y el orden del estabilizador del mismo.
Se prueba el teorema de Lagrange considerando la acción por multiplicación izquierda de un
grupo finito sobre el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de un subgrupo dado. Asimismo,
consideramos la acción por conjugación de un grupo sobre sí mismo y cómo esta acción, junto con
el principio fundamental de conteo, nos permite derivar la ecuación de clases, la cual nos indica que
el orden del grupo que realiza la acción es igual al orden del centro del grupo más los órdenes de
ciertas clases conjugadas.
Por otro lado, se prueban los primeros dos Teoremas de Sylow. El primer teorema de Sylow nos
permite garantizar la existencia de subgrupos de ciertos tamaños, en otras palabras, es un seudoconverso
del teorema de Lagrange. Para la prueba del primer teorema de Sylow, consideramos la
acción por multiplicación izquierda de un grupo G sobre el conjunto de todos los subconjuntos de
una cardinalidad específica. Mientras que el segundo teorema de Sylow nos indica que cualquier
p-subgrupo, denotado por Q, es subgrupo de un conjugado de un p-subgrupo de Sylow, denotado
por P. Para esta prueba consideramos la acción de Q por multiplicación izquierda en el conjunto de
todas las clases laterales izquierdas de P. Como último resultado de la teoría elemental de grupos,
probamos el teorema de Burnside. Dicho teorema nos permite contar la cantidad de órbitas que se
producen al tener una acción de un grupo en un conjunto. Ya que las órbitas de la acción particionan
el conjunto X, nos permite hallar la cardinalidad del conjunto cociente X/G.
Finalmente, para justificar dicho cambio de metodología en la impartición del curso de teoría de
grupos, mostramos mediante dos ejemplos cómo las acciones de grupos son un tema recurrente en la
matemática. Primero, mostramos que las acciones de grupo aparecen en la teoría de Galois ya que el
grupo de Galois de un polinomio actúa sobre las raíces del mismo. Esta acción la utilizaremos para
probar el conocido teorema que nos indica que si un número complejo es raíz de un polinomio sobre
los reales, entonces su conjugado complejo también lo es. El segundo ejemplo proviene de la teoría
de representaciones de grupos finitos. Para ello, consideramos la acción de un grupo finito sobre un
espacio vectorial unitario finito dimensional; esto nos permite concebir los elementos del grupo como
operadores del espacio y desarrollar así parte de la teoría de representaciones de grupos. (LA)
