Cómo introducir topología.

Abstract

El capítulo I muestra histórica y conceptual en torno de la pregunta ¿qués es la topología? Se aborda la problemática de una apropiada, definición para la estructura espacial, que no sea demasiada específica, por un lado, ni en extremo general, por el otro. El papel de los mapeos doblemente continuos que preserven lo fundamental en la estructura espacial es crucial. Se concluye que la palabra topología asume varios niveles de significación, siendo tres sus acepciones principales, a saber: como área de estudio de la Matemática (la Topología), como genérico de la estructura espacial (o estructura topológica), y como específico para el elemento particular que aparece en una de las formas de introducir la estructura topológica, misma que es la usualmente utilizada en el grueso de la disciplina. En el capítulo 2 se presenta el concepto de topología como una familia de conjuntos, denominados conjuntos abiertos, los cuales cumplen ciertas propiedades de interacción, y que vendrán a constituirse como las piezas fundamentales sobre las cuales es posible describir la estructura espacial que posee el Universo o Espacio en cuestión, el cual se define como la unión de todos los miembros de la familia de conjunto abiertos en la topología dada. La escogencia de esta estructura en particular para el inicio del ejercicio teorético de la equivalencia entre los distintos sistemas responde al hecho primordial que éste suele ser el mecanismo estándar para introducir la estructura espacial en un determinado conjunto. Un conjunto sobre el cual se ha definido este tipo de estructura se denomina un espacio topológico. De una manera similar se desarrollan los capítulos subsiguientes, presentado tres tipos de estructuras topológicas basadas en los conceptos de operador de cerradura, de sistema de vecindades y de operador de adherencia, respectivamente. La estructura y la axiomática mostradas en el capítulo 5 responden a una propuesta inédita, cuya propiedad pertenece al autor de esta monografía. Vale la observación que para hacer explícita la correspondencia entre las diferentes estructuras, se procede de manera similar en cada una de las secciones que conforman cada capítulo, respondiendo a una lógica de simetrías. De manera específica, para cada uno de los cuatro sistemas o estructuras, se dan los axiomas del sistema y las definiciones básicas de los otros tres elementos, comprobando posteriormente, que estos elementos cumplen con los teoremas que se corresponden con los axiomas en los otros sistemas. A su vez, para cada estructura topológica asumida como primarias se procede a desmostrar que las otras tres pueden ser generadas de manera secundaria, y que éstas nuevas estructuras derivadas "reconstruyen" totalmente la estructura originaria que las ha definido, alcanzando así el objetivo fundamental del presente trabajo monográfico, el cual es el de mostrar la completa equivalencia teórica entre las cuatro modalidades de introducción desarrolladas, dejando en el lector académico la selección oportuna o deseada dentro de la diversidad de formas existentes para introducir una topología o estructura topológica en un determinado espacio.