El teorema de completitud para la lógica de primer orden.

Abstract

INTRODUCCIÓN. En el año de 1930, Kurt Goedel presentó, en su disertación doctoral, la primera prueba de la completitud de la lógica de primer orden o cálculo funcional. El mismo dice en su trabajo (1967: pág. 583) que fue lo que lo motivó a realizarlo: "Whitehead y Russell, como es bien sabido, construyeron la lógica y la matemática tomando ciertos proposiciones evidentes como axiomas y derivando los teoremas de la lógica y la matemática a partir de éstos, por medio de principios de inferencia formulados con precisión, de manera formal (esto es, sin hacer uso del significado de los símbolos). Por supuesto, al seguir este procedimiento, de inmediato surge la pregunta siguiente: Si el sistema de axiomas y principios de inferencia es completo, esto es, si realmente es suficiente para derivar todas las proposiciones lógico-matemáticas verdaderas, o si quizás sea concebible que hayan proposiciones verdaderas (que pudieran incluso probarse usando otros principios) que no puedan ser derivadas en el sistema bajo consideración." Lo anterior quiere decir, averiguar si el método para la deducción de teoremas propuesto por Whitehead y Russell, en su Principia Mathematica, es completo en el sentido que, para todo teorema (proposición verdadera) de los sistemas de primer orden es posible encontrar una demostración utilizando el método y los axiomas propuestos; o bien establecer si algunos teoremas no pueden encontrarse o probarse con ellos. Es interesante, pues tratar de establecer la motivación que impulsó a los dos matemáticos británicos a escribir su Principia Mathematica. Esto implica trazar un recorrido de casi 2000 años en la historia de la lógica y la matemática, que incluye a un gran número de célebres pensadores. El proceso se inicia hace casi veinte y dos siglos con Aristóteles, quien buscaba un método para decidir cuándo un argumento era válido y cuándo no. Aristóteles hacía esto por tres razones diferentes: 1) Conocer la verdadera naturaleza de la argumentación. 2) Conocer las condiciones según las cuales una proposición queda demostrada. (Esto especialmente motivado por la geometría.) 3) Por el deseo de refutar y vencer a sus oponentes en las discusiones. Aristóteles fue el primero en usar símbolos en lógica y también uno de los primeros en trabajar lógica formal; es decir que reconoció ciertos tipos de argumentos válidos por su forma y no por su significado o contenido. Lo que Aristóteles realmente desarrolló fue todo un estudio sobre silogismos, aunque reconoció que no todos los argumentos eran de este tipo. Su estudio de los silogismos fue muy completo y detallado y, aunque no sea perfecto, hay que reconocer el inmenso mérito que tiene el haber hecho el primer estudio serio sobre lógica que ha llegado hasta nosotros. Como veremos más adelante, durante casi 2000 años no se hizo más que trabajar sobre lo que ya había hecho Aristóteles. El segundo paso -muy grande tanto para la lógica matemática como para toda la matemática- lo dio Euclides, también hace dos milenios, con su libro Los elementos. El propósito de Euclides fue el de continuar el trabajo de Platón, quien había intentado unir la aritmética y la cosmología. Euclides pretendía lograrlo, basando ambas en la geometría (que ahora se conoce como geometría euclidiana). Para ello, presentó la geometría en forma axiomática, y fue esta presentación novedosa por la que su trabajo se considera importante en la actualidad. Esta forma serviría más adelante como modelo para toda la matemática. El libro de Euclides se inicia con una serie de 23 definiciones, 5 postulados o axiomas y 5 nociones comunes. En las definiciones, se presentan objetos geométricos a partir de otros objetos más simples o fundamentales. Las nociones comunes son realmente nociones intuitivas que van a usarse en las deducciones y demostraciones, pero que son generales o aplicables a cualquier ciencia y no únicamente a la geometría. Los axiomas o postulados son ciertas proposiciones que se justifican en forma intuitiva y que garantizan la existencia de ciertos objetos geométricos, así como también la posibilidad de realizar cierto tipo de construcciones geométricas. Dados estos tres grupos, Euclides empieza a listar proposiciones o teoremas que luego demuestra a partir de los postulados iniciales y definiciones utilizando las nociones comunes y sin usar nada más que no esté en estas tres categorías. Euclides tuvo algunas pequeñas fallas, pero su método se convertiría en el que habría de usarse en toda la matemática. Del trabajo en lógica, desde esa época hasta mediados del siglo XIX, muy poco se ha estudiado. No se han logrado avances significativos y, de haberlos, éstos no habrían tenido mayor influjo en el desarrollo de la lógica matemática. Podemos, entonces, decir que no pasó nada importante hasta la segunda mitad del siglo XIX, en la que se inició un período de transición y de muchos cambios, por causa de tres aspectos diferentes: 1) El avance de la matemática hasta ese tiempo. 2) El descubrimiento de las geometrías no euclidianas. 3) La creación de la teoría de conjuntos. La matemática había avanzado considerablemente y necesitaba que la lógica hubiera marchado a la par. La búsqueda de este avance (en la lógica) llevó a la aplicación de métodos matemáticos en la lógica, creándose así la lógica matemática. De esta manera, la lógica recibió un impulso totalmente novedoso y sumamente fructífero. Veamos el primer punto: el avance de la matemática. En análisis se había hecho mucho progreso: se tenía ya el cálculo, aunque con problemas (por la naturaleza de los diferenciales). Con el trabajo de Descartes y Fermat (la geometría analítica) se habían unido el álgebra y la geometría, haciendo correspondencias entre figuras geométricas y ecuaciones. Estos mapeos de una rama de la matemática en otra probaron ser muy convenientes y, por lo mismo, se seguirían usando con mayor frecuencia y en otras ramas. Siguiendo esta línea, George Boole creó, a mitad del siglo XIX, un álgebra de la lógica (álgebra "booleana"). En cuanto a la aritmética, se conocían ya, en forma satisfactoria, los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números complejos y los cuaterniones. El segundo punto que es más importante y se refiere al descubrimiento de la geometría no euclidiana. La geometría propuesta por Euclides tenía ya una historia de 2000 años, así que todo el mundo suponía que ésta era "la geometría correcta". Además, se creía que se adecuaba perfectamente a la realidad física (mucho más tarde la teoría de la relatividad general demostraría que el espacio es euclidiano sólo localmente). Por estas razones, la simple idea de que la geometría euclidiana estuviese "equivocada" parecía descabellada a la mayoría de las personas. Sin embargo tres personas, en forma independiente, encontraron una nueva geometría que Gauss llamó no euclidiana. Estas tres personas fueron: el alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855), el húngaro Janos Bolyai (1802-1860) y el ruso Nicolai Lobachevski (1793-1856). Ya que el primero en publicar su trabajo fue el ruso, a esta geometría se le llama "lobachevskiana". La diferencia entre esta geometría y la propuesta por Euclides estaba en su quinto postulado o postulado de las paralelas. Según la geometría euclidiana, dados una línea recta y un punto fuera de ella, existe solo una línea recta paralela a la recta dada que pasa por ese punto. Según la geometría de Lobachevski, dados un punto y una línea recta, existen al menos dos líneas paralelas a la recta dada que pasan por el punto dado. ¿ Por qué razón se cambio este postulado? Varias personas habían dudado de su veracidad, pues se conocían curvas que se acercan cada vez más entre sí pero no se intersectan (asíntotas). Además no parecía ser lo suficientemente simple o evidente para ser un postulado; así que, durante algún tiempo, se había tratado de demostrar (sin éxito) su veracidad a partir de los otros postulados. (Más tarde se probaría que esto no era posible.) También se buscó -sin éxito- algún otro postulado equivalente, más simple, o que fuera más intuitivo.Para terminar de complicar el asunto, unos años más tarde, un alumno de Goetingen, Bernhard Riemann (1826-1866), presentaría otra geometría no euclidiana llamada luego geometría "riemanniana", para la cual el postulado de las paralelas es el siguiente: Dados una línea recta y un punto fuera de ella no existe ninguna recta paralela a la recta dada que pase por el punto dado. Claramente las tres geometrías, al tener un postulado diferente, tienen diferencias en algunos de sus teoremas. Por ejemplo, los ángulos de todo triángulo suman 180 grados en la euclidiana, menos de 180 en la lobachevskiana y más de 180 en la riemanniana. Se intensificó entonces la investigación de la consistencia (esto es, la ausencia de contradicciones) de las geometrías no euclidianas, reduciendo estos sistemas a otros conocidos; y se llegó a establecer que éstas eran consistentes (carecían de contradicciones) si lo era la geometría euclidiana. El hecho de reducir un sistema a otro dio la clave para pensar que quizás había que trabajar de manera formal, es decir, sin prestar tanta atención al significado que pudieran tener los postulados. Se pensó, entonces, que el trabajo de un matemático tenía que ser obtener proposiciones o teoremas a partir de un determinado grupo de axiomas, haciendo uso de principios de inferencia específicos y sin preocuparse del significado de los símbolos. Una vez desarrollada la teoría, podrían hacerse las interpretaciones que se desearan. El desarrollo de las geometrías no euclidianas -unido a la reunión de la geometría, el álgebra y la teoría de números y por ende el análisis- abrió la posibilidad de unir las diferentes ramas de la matemática en una unidad lograda por la lógica. El último toque para que cayera la antigua lógica lo dio una nueva teoría surgida a finales del siglo XIX: la teoría de conjuntos desarrollada por el alemán Georg Cantor (1845-1918), que vino a botar totalmente la intuición como criterio de verdad. ¿Qué más intuitivo y claro que la quinta noción común de Euclides; que el todo es más grande que la parte? Sin embargo esto no resulta cierto cuando se aplica a conjuntos infinitos. También se comprobó, mediante el famoso proceso de diagonalización que había distintos tipos de infinitos. Se probó exactamente que los naturales no eran equipotentes con los reales. Finalmente aparecieron, relacionadas con la teoría de conjuntos, ciertas paradojas o contradicciones que llevaron a un nuevo análisis de la validez de un argumento. Probablemente la paradoja históricamente más importante sea la de Russell. Luego aparecieron otras, como la de Cantor, la de Buralli-Forti y algunas más, que inestabilizaron toda la lógica antigua. Todo esto llevó, pues a la creación de la lógica matemática y del método axiomático formal. Podemos decir brevemente que el método axiomático tiene los siguientes elementos: 1) Un conjunto de objetos primitivos o indefinidos, así como también algunas relaciones entre los objetos primitivos que tampoco se definen. 2) Un grupo de proposiciones, formadas con objetos y relaciones primitivas, que se toman como axiomas de la teoría. Además, principios de inferencia que permiten obtener nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas. 3) Los teoremas que se obtienen de los axiomas, usando los principios de inferencia un número finito de veces, y sin hacer uso de nada más. Siguiendo este esquema, Whitehead y Russell intentaron, a principios de este siglo, proveer una axiomática de la cual se pudiera deducir toda la matemática. Este es el propósito fundamental de Principia Mathematica.