Abstract:
Este trabajo tiene como finalidad presentar dos generalizaciones del teorema fundamental del cálculo. Presenta las definiciones de la integral de Riemann, Lebesgue y Kurzweil-Henstock, en ese orden. Se incluyen las principales propiedades de las integrales y teoremas importantes, como lo son los de convergencia, de consistencia y el Teorema Fundamental del Cálculo.
Se muestran funciones y conjuntos que ejemplifican las limitaciones de la integral de Riemann y Lebesgue. Se presentan ejemplos que tienen como finalidad mostrar por qué la derivada y las integrales de Riemann y de Lebesgue no pueden ser consideradas como operaciones inversas. Finalmente, se utiliza la integral de Kurzweil-Henstock para integrar las funciones mencionadas anteriormente.
Entre los teoremas importantes están los de convergencia que incluyen el de convergencia acotada, el de convergencia uniforme y el de convergencia dominada. Por otro lado, se muestra una sucesión de funciones que no converge dentro del espacio de funciones Riemann integrables, demostrando la incompletitud del espacio vectorial. Se presenta el teorema de completitud de los espacios Lp.
Se demuestra que la funcion de Dirichlet no es integrable bajo Riemann, pero sí lo es de manera natural para Lebesgue. Por otro lado, se muestra como Kurzweil-Henstock la puede integrar usando un gauge apropiado. Además se relaciona la inadecuación de la integral de Riemann al no poder integrar la función de Dirichlet con la falta de un teorema de convergencia más general que el de convergencia uniforme.
Finalmente, se presentan las demostraciones de las diferentes versiones del Teorema fundamental del cálculo para las tres integrales.
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