Álgebras con bases que consisten únicamente de unidades.

Abstract

En este trabajo se cambiara levemente la definición de un R-álgebra. Desde un punto de vista, nuestra definición es más restrictiva que la usual pero desde otro, es más flexible. Primero que nada, no se permitirá que una imagen homomorfa del anillo R esté contenida en A, sino que se exige que esta copia sea isomorfa a R (básicamente, R está contenida en el álgebra A.) El segundo cambio será el no requerir que esa copia de R esté necesariamente contenida en el centro de A; solo pedimos que si a y b están en A y r esta en R, entonces r(ab) = (ra)b; no requerimos que también sea cierto que r(ab) = a(rb). La idea de una parte del trabajo es considerar otras propiedades para los elementos de algunas bases de las algebras. Por ejemplo, considerar bases invertibles (aquellas cuyos elementos son todos invertibles con respecto a la multiplicación en el álgebra). Aquellas álgebras que tienen alguna base invertible serán denominadas algebras invertibles. Entre otras condiciones que uno puede considerar para las bases invertibles están, por ejemplo, el que sean cerradas bajo el producto, cerradas bajo inversos, etc. A partir de estas nuevas propiedades, uno trata de clasificarlas, caracterizarlas, y encontrar ejemplos específicos de álgebras que tengan bases que cumplen las condiciones dadas. Otros aspectos del proyecto incluyen como generar nuevas R-álgebras a partir de R álgebras conocidas y considerar el impacto de esas construcciones sobre las propiedades que nos interesan. Por ejemplo, construir matrices cuyas entradas son elementos de R-álgebras invertibles o sumas directas de R-álgebras invertibles. Otro enfoque del trabajo es estudiar álgebras invertibles y clasificarlas con base en su dimensión. Se estudian algebras invertibles nito e in nito-dimensionales. Comúnmente, el estudio de estructuras in nito-dimensionales, resulta ser más complejo que es estudio que estructuras nito-dimensionales. Por otra parte, la facilidad de trabajar con estructuras de dimensión finita se ha traducido, en la práctica, a una habilidad de desarrollar resultados contundentes que, sin embargo, requieren herramientas fuera del alcance de los lectores que anticipamos para este trabajo. Resulta ser, entonces, que la demostración de uno de los resultados más impresionantes (que casi todas las álgebras nito-dimensionales son invertibles) es complejo, y sobrepasa el conocimiento de nivel licenciatura. Es por eso que en la sección correspondiente se omitirán las demostraciones de algunas propiedades, y se mostraran únicamente los enunciados de las proposiciones.