El teorema de Borsuk Ulam.

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es presentar y probar el teorema de Borsuk-Ulam, de la topología algebraica, que dice que si existe una función continua que mapea a la esfera de dimensión n al espacio Rn, entonces existe un punto x en la esfera que cumple que f(x) = f(-x), es decir existe un punto en la esfera tal que él y su opuesto (diametralmente) tienen la misma imagen bajo la función f. El teorema tiene un enunciado sencillo de entender, pero su prueba no es sencilla. Para el caso donde n es uno, sí es fácil hacer la prueba, pero en dimensiones mayores se complica significativamente. En este trabajo se introduce el teorema de Borsuk-Ulam y se aprovecha la dificultad de su prueba para introducir al lector a la topología algebraica y a uno de los usos de la combinatoria para demostrar un resultado de la topología. Seguidamente se termina de presentar el teorema mostrando su versatilidad al ser enunciado de varias formas equivalentes, algunas de las cuales ni siquiera son parte de la topología algebraica. Finalmente se muestran algunas aplicaciones y consecuencias derivadas a partir del teorema de Borsuk-Ulam y algunas de sus variaciones. Algunas de las aplicaciones y consecuencias son artículos publicados recientemente y otras fueron presentados hace bastante tiempo. Con esto se puede ilustrar la utilidad del teorema que desde su publicación no ha parado de producir resultados.