El teorema de Rietmann-Roch: Límite entre álgebra, geometría y topología.

Abstract

En este trabajo se presenta una demostración del Teorema de Riemann-Roch sobre superficies de Riemann definidas como variedad compleja de dimensión 2. Se comienza definiendo variedades y se enuncian sin demostración teoremas acerca de triangulaciones, característica de Euler y género. Con esta base, se desarrolla la teoría de funciones meromorfas y de formas diferenciales sobre superficies de Riemann. Los resultados más importantes son los teoremas de Riemann-Hurwitz y del Residuo. Luego de construir esta base, se definen divisores y sus espacios vectoriales asociados. A pesar de que la existencia de funciones meromorfas no constantes en una superficie de Riemann compacta es un paso vital, la demostración es muy extensa. Por ello, el trabajo se limita a un tipo particular de superficie de Riemann, las curvas algebraicas. En este nuevo contexto, se encuentran funciones meromorfas con series de Laurent prescritas en una cantidad finita de puntos y se demuestran cotas para la dimensión de los espacios asociados a un divisor. Finalmente, se demuestra el resultado principal utilizando el Teorema de Dualidad de Serre. En el último capítulo se presentan aplicaciones del Teorema de Riemann-Roch. Se demuestra que las únicas superficies de Riemann en las que vale el resultado principal son curvas algebraicas. Se demuestra una relación entre dos superficies de Riemann entre las que existe un mapeo holomorfo y su género. Se definen puntos de Weierstrass y se finaliza enunciando un teorema que caracteriza las superficies de Riemann como espacios cubierta de la esfera.