Algunas relaciones entre las topologías de los espacios topológicos y las de sus subespacios densos.

Abstract

El propósito de este trabajo es investigar aquellas situaciones en que la información sobre un espacio topológico X puede deducirse de la topología de algún subespacio denso de X. Para lograr este objetivo se introduce el concepto de recuperabilidad y se estudia la estructura topológica que un espacio topológico hereda a sus subespacios densos. El concepto de recuperabilidad intenta describir aquellas situaciones en que, a partir de la topología de un subespacio de un espacio topológico X, se puede deducir la topología de X. Dentro de los resultados presentados en este trabajo y relacionados con el concepto de recuperabilidad, destacan distintas caracterizaciones de cuándo el espacio topológico X es recuperable a partir de su subespacio D. En el capítulo final se incluye una caracterización de algunos espacios topológicos recuperables a partir de cada uno de sus subespacios densos. Además del concepto de recuperabilidad, en este trabajo también se investiga el concepto de densidad. Uno de los resultados relevantes en este trabajo caracteriza el concepto de densidad en términos de una relación entre la estructura topológica del espacio X y el subespacio denso D. Es de resaltar que siempre que X sea recuperable a partir de D, D es denso en X. Finalmente, es importante señalar que en este trabajo se propone un método para la construcción de la topología de X a partir de la topología de un espacio topológico D, de tal forma que X sea recuperable a partir de D. De hecho se muestra que, bajo ciertas condiciones, cada espacio X recuperable a partir de D puede reconstruirse mediante este método. Así, en este trabajo se señalan algunas de las propiedades que permiten la existencia de procesos como los métodos de compactificación de espacios topológicos o los métodos de completación de espacios métricos.