Fundamentos del análisis no estándar y su relación con el cálculo.

Abstract

Se presentan en esta tesis los puntos centrales del análisis no estándar para llegar a demostrar a través de esta herramienta el teorema fundamental del cálculo para funciones continuas. Como parte central de la herramienta desarrollada se construyen los números hiperreales, dicha construcción representa una aplicación importante de la lógica matemática, más en particular, de la teoría de modelos. La importancia de este conjunto de números consiste en que en él existen objetos que formalizan la antigua noción de infinitesimal, por lo que se puede lograr sobre este conjunto un desarrollo riguroso de gran parte de las implicaciones que producía aquella noción. Como resultado de mezcla entre intuición de la noción de infinitesimal y formalismo inducido por el marco lógico se alcanza un desarrollo consistente del análisis más cercano a la intuición de los infinitesimales, parecido al de Newton, Leibniz e incluso Euler en la no indispensabilidad del uso de la definición formal actual de límite introducida por Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX. Así a través de este desarrollo se logran probar de forma paralela algunos resultados del cálculo matemático como el teorema fundamental del cálculo. La tesis se separará en tres secciones para lograr su objetivo. La primera sección encierra un conjunto de resultados preliminares que el lector debe conocer para poder entrar en materia. Por ejemplo, se expone el material necesario de la lógica de primer orden y resultados sobre filtros y ultrafiltros. En la segunda sección se construye el conjunto de los números hiperreales, y se estudia la relación inducida por dicha construcción con los números reales y sus propiedades. También se estudia la aritmética del conjunto construido y algunas propiedades topológicas. En la última sección se hace un recorrido por la versión no estándar de continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad, finalmente se prueba sobre este marco el teorema fundamental del cálculo.