Introducción al estudio de teoremas de punto fijo en el plano.

Abstract

INTRODUCCIÓN. A continuación presentamos definiciones y resultados de topología general que son básicos para nuestro estudio de topología algebraica. Dado X un espacio topológico se dan las siguientes definiciones: Definición 1.1.: X es disconexo si existen U, V subconjuntos no vacíos, abiertos en X tal que U V V = X y U (n) V= Ø. Diremos que X es conexo si no es disconexo. Definición 1.2.: X es conexo por trayectorias si todo par de puntos pueden ser unidos por una trayectoria en X. Es decir, para todo x, y E X existe f: [0,1]→X función continua tal que f(0) = x y f(1) = y. Definición 1.3.: X es localmente conexo por trayectorias en x, si toda vecindad de x contiene una vecindad conexa por trayectorias. O bien, si to do punto tiene una base de vecindades conexas. Notemos que [0,1] es un espacio conexo, y {0,1} dotado de la topología discreta es disconexo. (Ref.4) Lema 1.4.: X es disconexo si existe una función continua sobreyectiva f: X→{0,1}. DEMOSTRACION: Sea X un espacio topológico desconectado por U y V. Consideremos f: X→{0,1} tal que f(U) = O y f(V) = 1. Claramente f esta bien definida, es continua y sobreyectiva. Por otra parte, sea f: X→{0,1} una aplicación continua y sobreyectiva. Tomemos U = f ¯¹{0} y V = f ¯¹{1} y que obviamente desconectan a X. Lema 1.5.: Dado X un espacio topológico y A un subespacio conexo de X. Si B es un subespacio de X tal que A c B c Ā, entonces B es conexo. En particular Ā es conexo. DEMOSTRACION: Sea B un subespacio de X tal que A c B c Ā, y supongamos que B es desconectado por U y V. Entonces A esta contenido en U o en V. Asumiendo que A n V = Ø se sigue que Ā n V = Ø lo cual es una contradicción. Por lo que B debe ser conexo. No es difícil demostrar que la imagen continua de un espacio conexo es un espacio conexo (Ref.4). La imagen continua de un espacio conexo por trayectorias es también conexo por trayectorias (Ref.4). Sin embargo, la imagen continua de un espacio localmente conexo por trayectorias, no necesariamente es un espacio localmente conexo por trayectorias. Esto último sera demostrado más adelante. Teorema 1.6.: Todo espacio conexo por trayectorias es un espacio conexo. Pero no todo espacio conexo es conexo por trayectorias. DEMOSTRACIÓN: Sea X un espacio conexo por trayectorias y supongamos que X es disconexo. Es decir, existe f: X→{0,1} función continua y sobreyectiva. Tomemos x, y elementos de X tal que f(x) = O y f(y) = 1, entonces existe g: [0,1]→X aplicación continua tal que g(0) = x y g(1) = y. Es fácil demostrar que g ° f:[0,1]→ {0,1} es una función continua y sobreyectica, lo que nos conduce a una contradicción. Por lo tanto X debe ser conexo. Por otro lado, consideremos U={(x,y) €R²:x=0 y-1 ≤y≤1}, V= {(x,y)€ R²: 0 ≤x≤1 y y = sen 1/x} y sea Y= U (u) V. Claramente, V es la imagen de (0,1) bajo la aplicación continua F(x) = (x, sen 1/x) y Y = Ṽ. Por lo que Y es un espacio conexo. Ahora bien, no es posible unir por medio de una trayectoria al origen (0,0) con algún punto de V, ya que B((0,0), 1/4π) ∩ Y es una colección desjunta de segmentos de recta. Teorema 1.7.: Todo espacio conexo y localmente conexo par trayectorias es un espacio conexo por trayectorias. DEMOSTRACIÓN: Sea X un espacio conexo, localmente conexo por trayectorias y supongamos que no es conexo por trayectorias. Sean x, y elementos de X que no pueden ser unidos por medio de una trayectoria. Llamemos U a la colección de puntos que pueden ser unidos a x por medio de una trayectoria y V = X - U. No es difícil demostrar que U y V desconectan a X. Proposición 1.8.: La imagen continua de un espacio localmente conexo por trayectorias, no necesariamente es localmente conexo por trayectorias. DEMOSTRACIÓN: Consideremos la aplicación f:7L(c)R→R tal que f(n)=1/n y f(0)=0. Claramente es localmente conexo por trayectorias, y f es continua siendo 7L un espacio discreto. Sin embargo, f(7L) no es localmente conexo por trayectorias, ya que toda vecindad de 0 contiene infinitos 1/n que no pueden ser unidos por una trayectoria en f(7L). Proposición 1.9.: 12. Un subconjunto del R² conexo por trayectorias puede no ser imagen bajo ninguna función continua en [0,1]. DEMOSTRACIÓN: Consideremos el disco abierto centrado en el origen con radio uno B((0,0),1). Este no es compacto en R², por lo que no puede ser imagen continua de [0,1]. Notemos que si f: X→Y es un homeomorfismo y x € X, entonces f X-{x} X-{x}→Y-{f(x)} es también un homeomorfismo. (Ref.3) Proposición 1.10.: Dados los espacios R, S¹ = {(x,y)€ R: x² + y² = 1} y R², ningún par de ellos son homéomorfos. DEMOSTRACIÓN: R-{0} no es conexo, pues es desconectado por (-∞, 0) y (0,∞). Sin embargo, S¹ y R² permanecen conexos al remover uno cualquiera de sus puntos. Entonces, S¹ y R² no son homeomorfos a R. Por otro lado, al remover cualquier par de puntos distintos, S¹ es desconectado mientras que R² sigue siendo conexo. Por lo tanto, S¹ no es horneomorfo a R². Proposición 1.11.: Todo subconjunto abierto y conexo de R² es conexo por trayectorias poligonales. DEMOSTRACIÓN: Sea X un subconjunto abierto y conexo de R² con x como elemento. Llamemos U la colección de puntos en X que pueden ser unidos a x por una trayectoria poligonal y V = X - U. Dado y elemento de U, existe una bola abierta B(y,r) contenida en X, claramente todo elemento w de B(y,r) puede ser unido a y por medio de un segmento de recta, ya que B(y,r) es convexa. Pudiéndose entonces unir x y y por una trayectoria poligonal, w es también elemento de U. De igual forma obtenemos que V es abierto en X, y siendo U no vacío concluimos que V es vacío.