Algunas aplicaciones de las funciones especiales de la física.

Abstract

INTRODUCCIÓN. El planteamiento matemático de los problemas físicos se hace, generalmente, en términos de ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el comportamiento de las cantidades físicas que intervienen. El problema se reduce entonces a buscar las funciones que son soluciones de estas ecuaciones y que satisfagan, además,. ciertas condiciones en la frontera de la región en consideración. Puede suceder que en ciertos sistemas de coordenadas, estas ecuaciones diferenciales parciales sean solubles por el método de separación de variables. En tal caso, pueden resultar una o varias ecuaciones diferenciales totales, cuya solución no se pueda expresar en términos de funciones elementales. En este caso se definen nuevas funciones (funciones especiales), que son las soluciones matemáticas de estas ecuaciones; las propiedades de éstas son indispensables para la interpretación física de los problemas. El estudio de las propiedades de las funciones especiales puede realizarse por medio de procedimientos muy variados. Aquí se realiza por el método de la función generadora, que tiene quizá, un poco más de generali dad si se compara con otros métodos. Se postula la función generadora para cada una de las funciones especiales que se estudiarán, y a partir de éstas, se obtendrán, además de algunas de sus propiedades, la ecuación diferencial que satisfacen. La obtención de las soluciones de estas ecuaciones se hará por medio del método de solución en serie; pues este método nos conduce por lo menos a una solución particular, si no es que a la solución general. La finalidad de este trabajo es la de proporcionar una ayuda a los estudiantes de física que se inician en el estudio de las funciones especia les. Se pretende dar, de una manera compacta, la mayoría de las propiedades que aparecen con mayor frecuencia en los problemas de la física y de analizar estas propiedades de la manera más simple posible. A través del presente trabajo se intenta mostrar cómo estas funciones pueden utilizarse en la discusión, tanto de problemas de física clásica como de problemas de la teoría cuántica. El plan general del contenido es presentar la teoría de las funciones de la manera antes mencionada, para luego demostrar la aplicación de esta teoría mediante problemas específicos. De cada una de las funciones especiales se establecen ciertas propiedades como son las fórmulas de recurrencia, las representaciones integrales, las formas asintóticas, las propiedades de ortogonalidad y otras. A demás se tratará con propiedades exclusivas de cada función. En las funciones hipergeométricas se encuentran las relaciones lineales entre soluciones de esta ecuación que expresan una serie hipergeométrica en términos de otras dos linealmente independientes. Este tipo de relaciones se pueden emplear, por ejemplo, para la determinación del coeficiente de reflexión en problemas de barreras de potencial. No se pretende de ninguna manera abarcar toda la teoría de las funciones especiales, sino de ilustrar de manera general, la'gran aplicabilidad de estas funciones en las diversas ramas de la física y el porqué de su importancia. Para todos aquellos interesados en analizar otros tratamientos y ahondar en el estudio de las funciones especiales, se aconseja consultar libros especializados, algunos de los cuales se citan al final de este trabajo. RR